Mostra isso $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [Fechado]

Dec 14 2020

Alguém poderia me dar uma dica de como mostrar $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

Eu sei como fazer as duas integrais separadamente, mas esta questão leva a outra maneira de avaliá-las e requer que isso seja mostrado primeiro. Como tal, quero mostrar a equivalência manipulando a integral como a questão pretende, em vez de avaliar ambas separadamente.

Tentei trabalhar com os dois lados e sinto que estou perdendo um truque. Usar a integração por partes aumenta o poder do denominador e nenhum cancelamento agradável acontece (exceto uma fórmula de redução não relacionada). Também não consigo ver uma grande substituição.

Respostas

10 MarkViola Dec 14 2020 at 01:22

Observe que ao impor a substituição $x\mapsto 1/x$, nós achamos

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

E nós terminamos!

4 marlasca23 Dec 14 2020 at 01:22

Basicamente, você quer provar que

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

Considere a integral no $(1,\infty)$intervalo. Aplicando a mudança de variáveis$y = 1/x$ Nós temos

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

o que é claramente verdade.