Mostrando a convergência de uma série dada a convergência de uma sequência
Estou trabalhando em um problema que me pede para mostrar o seguinte: Dada uma sequência de números reais,$(x_n), n=0,1,2,...$de tal modo que$x_n \rightarrow x$, mostre que$$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$Minha abordagem é tentar provar isso de maneira semelhante a como provamos a fórmula da série geométrica (que seria simples se$(x_n)$eram uma sequência constante). Então, olhando para as somas parciais da série acima, vemos que:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$A partir daqui eu não posso deixar$p\rightarrow 1^{-}$ainda, caso contrário, tudo iria cancelar. Então eu quero usar o fato de que$x_n$converge para$x$, e eu suspeito que terei que usar o fato de que desde$x_n \rightarrow x$, a$(x_m - x_{m-1})$os termos vão$0$para grande$m$. Porém, ainda não sei como lidar com os termos iniciais na soma onde o$(x_m - x_{m-1})$termos não são desprezíveis.
Respostas
$\epsilon>0$:
queremos mostrar que existe um$\delta$para qual se$p\in\left(1-\delta,1\right)$então$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. sabemos que x_n converge para x, então existe um N tal que para todo n>N temos:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. também sabemos que:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. vamos ver a segunda parte:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
então nós temos:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
mas para p próximo o suficiente de 1, a primeira parte vai para zero e a segunda parte vai para x menos epsilon. Então você pode mostrar para o delta certo o limite inferior que você precisa. O limite superior pode ser mostrado de maneira muito semelhante.
espero que isso seja compreensível