Mostrando$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

Deixar$K = \mathbb{C}[[h]]$seja a álgebra das séries de potências formais do corpo complexo e seja$K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. Estou tentando entender o seguinte isomorfismo:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Obrigado!

Answer 1

A afirmação vale para toda álgebra comutativa$B$sobre um anel comutativo$A$e$A$-módulos$M,N$. Isso decorre dessa cadeia de$B$-isomorfismos de módulo:\begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}