Mostrar expectativa de mínimo do martingale parado é $-\infty$

Question

Considere o martingale de passeio aleatório $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ Onde $X_k$ são uniformemente limitados, iid com $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Deixei$a>0$ E definir $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Mostra isso$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

Eu estava pensando em definir $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ e usando o martingale $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Em seguida, obteremos (usando MCT e delimitação e$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Isso implica$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Não tenho certeza de como proceder a partir daqui.

Answer 1

Que tal agora?

Para qualquer $N < \infty$, pelo teorema de amostragem opcional, temos $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. E$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ Como $N, k \to \infty$.

então $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ converge para um número negativo como $N,k \to \infty$.

Deixei $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Agora$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. E se$E(U) > -\infty$, então $E(U I_{U < -k}) \to 0$ Como $k \to \infty$, o que é uma contradição.