Mostre que esta família é equicontínua em $0$
Deixei $E$ ser um espaço vetorial normatizado, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ para compacto $K\subseteq E$ e $\sigma_c(E',E)$ denotam a topologia inicial em relação a $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, ou seja, a topologia de subespaço em $E'$ herdado da topologia de convergência compacta em $C(K)$.
Deixei $\mathcal C\subseteq C(E')$ ser uniformemente $\sigma_c(E',E)$-equicontínuo.
Por que podemos concluir que $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
Provavelmente, a reivindicação desejada é trivial de se obter, mas não consigo ver como devido à configuração um tanto complicada.
$(1)$ é obviamente algum tipo de equicontinuidade em $0$. Não tenho certeza se é relevante, mas pelo teorema de Banach-Alaoglu$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ é $\sigma_c(E',E)$-compacto para todos $\delta>0$.
Respostas
Lembre-se da definição de equicontinuidade uniforme de$\mathcal{C}$ como um conjunto de mapas $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
Para cada bairro $V \subseteq \Bbb{R}$ do $O$ há um bairro $U$ do $0$ dentro $(E',\sigma_c(E',E))$ de tal modo que $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
Para agora $\psi = 0$ e $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, nós temos um bairro $U$ do $0$ de tal modo que $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ sendo um bairro de $0$ contém uma intersecção de um número finito de bolas abertas em torno da origem dos raios $\delta_1, \ldots, \delta_k$ com respeito aos seminários de conjuntos compactos $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ Jogos $K_k$ são limitados em norma por alguns $M_k > 0$ então se definirmos $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ então para qualquer $\varphi \in E'$ temos $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ para todos $k=1, \ldots, n$ assim $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
Se não me engano, este deve ser um exemplo de um resultado mais geral:
- $(X,\tau)$ ser um espaço topológico;
- $Y$ seja um norma $\mathbb R$-Espaço vetorial;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ para $\tau$-compactar $K\subseteq X$ e $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ ser um espaço métrico;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ ser contínuo em relação à topologia localmente convexa em $C(X,\tau;Y)$ gerado por $P$ e a métrica $d$ em $Z$.
Então, facilmente vemos que $f$ é contínuo com respeito à norma $\overline p$ em $C(X,\tau;Y)$ gerado por $P$ e a métrica $d$ em $Z$: Deixei $f\in C(X,\tau;Y)$ e $\varepsilon>0$. Pela suposição de continuidade em$F$, existe um $P$-Vizinhança $N$ do $f$ com $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ Deixei $U_p$ denotam a bola unitária aberta em $$C(X,\tau;Y)$$ em relação a $p\in P$. Nós podemos escrever$N=f+N_0$ para alguns $P$-Vizinhança $N_0$ do $0$. Além disso, existem$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-compactar $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ e $\delta_0>0$ com $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ Agora deixe $\delta\in(0,1)$ com $\delta\le\delta_0$. Então,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ e, portanto $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ ie $f$ é contínuo em $f$ com relação à topologia localmente convexa em $C(X,\tau;Y)$ gerado por $P$ e a métrica $d$ em $Z$.
Alternativamente, o resultado teria sido seguido imediatamente observando que a topologia gerada por $P$ é mais grosseira do que a topologia gerada por $\overline p$, conforme discutido aqui .
Agora se $X$ é uma norma $\mathbb R$- espaço vetorial e $\tau$ é a topologia gerada por $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, então $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ e, portanto, a topologia gerada por $\left\|\;\cdot\;\right\|$ é mais grosseira do que a topologia de operador uniforme (ou seja, a topologia gerada por $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$) Então, imediatamente obtemos que$F$ é contínuo em relação à topologia gerada por $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ e a métrica $d$ em $Z$ também.