Mostre que existe$x_0$de tal modo que$p(x_0) < q(x_0)$para os polinômios dados

Question

Se$p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$e$q(x) = x^2+px+q$Sejam dois polinômios com coeficientes reais. Suponha que exista um intervalo$(r,s)$de comprimento maior que 2, de modo que ambos$p(x)$e$q(x)$são negativos para$x \in (r,s)$e ambos são positivos para$x<r$ou$x>s$. Mostre que existe$x_0$de tal modo que$p(x_0) < q(x_0)$

Desde$q(x)$é quadrática, portanto$r$e$s$tem que ser as raízes.

mas,$r$e$s$também são as raízes de$p(x)$assim,$q(x)$tem que ser um fator de$p(x)$, Portanto

$p(x) = q(x)g(x)$

Onde$g(x)$também é quadrática. Mas isso é o mais longe que pude chegar. Como proceder a partir daqui? Como você faz uso da condição$s-r > 2$?

Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

$r$e$s$são raízes de ambos$p(x)$e$q(x)$e, portanto, também é a raiz de$p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$Onde$|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Vamos assumir$p(x) - q(x)$é sempre não negativo, mas dado que suas raízes são$r$e$s$, só é possível se$f(x)$é negativo sempre que$q(x)$é e$f(x)$é positivo sempre que$q(x)$é.

Isso significa que tem raízes duplas em$r$e$s$ou seja$p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

ou seja$p(x) - q(x) = q(x)^2$

ou seja$p(x) = q(x)(q(x)+1)$

ou seja$1+q(x) \gt 0$Como$p(x)$e$q(x)$tem o mesmo sinal em tudo$x$.

ou seja$x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Isso não pode ser verdade como seu discriminante$(r-s)^2 - 4 \gt 0$como dado no problema. Então existe um valor de x onde$p(x) \lt q(x)$.

[Nota: função$ax^2+bx+c$tem duas raízes reais se seu discriminante$b^2-4ac \gt 0$]