Mostre que um grupo de ordem $pq$ tem subgrupo de ordem $p$ e $q$ sem usar o teorema de Sylow e Cauchy
E se $o(G)$ é $pq$, $p>q$ são primos, prove isso $G$ tem um subgrupo de ordem $p$ e um subgrupo de ordem $q$.
[Esta pergunta é de Herstein e vem antes do teorema de Sylow e Cauchy. Portanto, espero uma resposta sem usar nenhum desses]
Aqui está o que consegui até agora:
E se $G$ é cíclico, então terminamos de outra forma, podemos assumir que não é cíclico, o que significa que todo elemento de não identidade deve estar em ordem $p$ ou $q$.
Caso $(1)$ se existe $a\in G$ de tal modo que $o(a) = p$ e se também existe um elemento de ordem $q$então terminamos. Portanto, podemos assumir que todo elemento de não identidade é de ordem$p$. Agora escolha$b\in G$ de tal modo que $b\notin \langle a \rangle$ então $o(b) = p$ e $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$
Então nós temos $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ mas $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ mas $p^2 > pq$ [Desde a $p>q$] então temos uma contradição.
Dê-me uma dica para o segundo caso e corrija-me se meu argumento para o primeiro caso estiver errado
Respostas
Suponha que todo elemento não-identidade gere um grupo cíclico de ordem $q$, o menor dos primos.
Conjugação é uma relação de equivalência em um grupo. Portanto, devemos ser capazes de particionar o grupo em suas classes de equivalência. O tamanho da classe de equivalência à qual um elemento pertence é o índice do centralizador do elemento. Por quê? Consertar$x\in G$. Faça um homomorfismo de$G \rightarrow G$ enviando $g \rightarrow xgx^{-1}$. O tamanho da classe de equivalência é a ordem da imagem. Qual é o kernel deste mapa?
Se o centralizador estiver em ordem $p$ ou $pq$, acabamos. Suponha que todo centralizador esteja em ordem$q$, o índice do centralizador é $pq/q=p$. Cada elemento pertenceria a uma classe de equivalência de tamanho$p$, exceto para o elemento de identidade.
Um cálculo de cardinalidade simples mostra que $pq= kp+1$, onde representa o número de classes de equivalência. No entanto, isso é absurdo e, portanto, nem todo subgrupo de ordem$q$.