Negação de “se A, então B” (como provar que “se A, então B” é falso)
Sei que este tópico já foi discutido antes, mas ainda não consegui encontrar uma resposta para minha pergunta específica.
Eu sei que a negação de "Se A então B" é "A e NÃO B".
Mas eu queria algum esclarecimento e o que determina verdadeiro/falso para a afirmação A e NÃO B.
Por exemplo, vamos supor que a afirmação "se A, então B" seja verdadeira. Então, no meu entendimento, seguir-se-ia que "A e NÃO B" deve ser sempre falso.
No entanto, vamos supor que a afirmação "se A, então B" seja falsa. Então a afirmação "A e NÃO B" seria sempre verdadeira? Ou será que existe pelo menos um caso em que "A e NÃO B" é verdadeiro?
Só para deixar minha pergunta ainda mais clara, se eu quisesse provar que "se A então B" é realmente falso, eu precisaria mostrar que "A e NÃO B" sempre é verdadeiro, ou é suficiente mostrar apenas um caso em que é verdade?
Obrigado!
Respostas
Por exemplo, vamos supor que a afirmação "se A, então B" seja verdadeira. Então, no meu entendimento, seguir-se-ia que "A e NÃO B" deve ser sempre falso.
Ser verdadeiro é diferente de ser uma tautologia, portanto não se segue que "A e NÃO B" deva ser sempre falso. Em vez disso, suponha que "se A, então B" seja uma tautologia, isso implica que sua negação deve ser sempre falsa, ou seja, uma contradição.
Eidt: Está correto se você quer dizer "A e NÃO B" sempre ser falso nos casos em que "se A então B" é verdadeiro.
No entanto, vamos supor que a afirmação "se A, então B" seja falsa. Então a afirmação "A e NÃO B" seria sempre verdadeira? Ou será que existe pelo menos um caso em que "A e NÃO B" é verdadeiro?
Se sabemos que "se A então B" é falso em alguns casos fixos, então "A e NÃO B" deve ser verdadeiro nesses casos, e se esses casos cobrem todos os casos possíveis, então sim
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
No entanto, quando dizemos que "se A, então B" é falso, normalmente isso significa que isso é falso em algum caso específico, digamos o caso C. Isso vale there is at least one case where "A and NOT B" is true. Seja especificamente, porque é verdade no caso C.
Só para deixar minha pergunta ainda mais clara, se eu quisesse provar que "se A então B" é realmente falso, eu precisaria mostrar que "A e NÃO B" sempre é verdadeiro, ou é suficiente mostrar apenas um caso em que é verdade?
Se quisermos provar que "se A, então B" é realmente falso em algum caso C, basta mostrar que no caso C "A e NÃO B" é verdadeiro.
Pela mesma razão, se quisermos provar que "se A, então B" é sempre falso, precisamos mostrar que "A e NÃO B" é sempre verdadeiro.
Vamos ver a tabela verdade de$A \rightarrow B$, temos$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
O único caso para obter$False$valor é quando$A$é$True$e$B$é$False$. Então, para obter esse resultado, você só precisa mostrar que$B$é$False$. espero que ajude
Aqui está a tabela verdade para$(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Como você pode ver, é sempre verdade.
A implicação lógica é frequentemente definida como:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Essa equivalência também pode ser provada formalmente a partir dos primeiros princípios usando uma forma de dedução natural:
