O que significa igualar os coeficientes de termos semelhantes ao resolver para A e B em frações parciais?

Dec 27 2020

Estou tentando resolver o problema de frações parciais em um livro do décimo ano de Cambridge. Este é um conceito que eles estão introduzindo desde o início para os alunos que querem se desafiar e é muito leve na explicação.

Por exemplo: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Eu entendo como trabalhar isso a ponto de chegar a 7 = x (A + 2B) + 2A − 3B. A partir daí, li que preciso fazer algo chamado "equacionar coeficientes. Os coeficientes próximos aos termos semelhantes devem ser iguais, então o seguinte sistema é obtido: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.

Mas não entendo POR QUE ou como é válido definirmos essas partes da equação com esses valores. Por que não A + 2B = 7 2A − 3B = 0, por exemplo. Eu tentei olhar no YouTube e perguntar a amigos, mas não consigo entender.

Eu posso fazer isso e posso resolver para A e B usando este método. Mas estou realmente lutando para entender o que estou fazendo naquele ponto do processo. A frase que sempre aparece quando eu olho para isso é "podemos igualar os coeficientes de termos semelhantes". Por exemplo, na página wikipedia em Fraction Decomposition diz "Equacionando os coeficientes de xe os coeficientes constantes (em relação ax) de ambos os lados desta equação ...". Segundo exemplo: diz "Os coeficientes próximos aos termos semelhantes devem ser iguais, então o seguinte sistema é obtido:" na página de ajuda do emathhelp quando entro na equação 7 / (x + 2) (2x-3).

Respostas

1 ChubbyChef Dec 27 2020 at 21:34

Acho que você está um pouco confuso sobre as etapas desse problema. Observe que, depois de multiplicar ambos os lados pelo denominador, você precisa tentar resolver a equação resultante, neste caso$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Termos semelhantes são os coeficientes de poderes idênticos de$x$. Observe aquilo$7 = 0x + 7$. Você pode ver a semelhança agora? Teve$(A+2B)$foi tudo menos $0$, você teria um diferente de zero $ax$termo no lado esquerdo da equação acima. A mesma lógica se aplica a$(2A-3B)$.

Então realmente você acaba com $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ que, quando resolvido simultaneamente, dá $A= 2$, $B = -1$.

YvesDaoust Dec 27 2020 at 21:25

Suponha que você estava trabalhando com

$$ax+b=3x+2.$$

Queremos dizer que isso vale para qualquer $x$. Então, em particular, poderíamos escrever

$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$

Este é um sistema de duas incógnitas e infinitas equações. Mas acontece que se você resolver um número mínimo de equações (com as duas primeiras,$a=3, b=2$), a solução é válida para todas as equações, porque as expressões simbólicas são totalmente equivalentes.

O mesmo vale para frações racionais ou qualquer tipo de identificação.