Objeto compacto e gerador compacto em uma categoria
Encontrei duas definições de objeto compacto.
( Lurie, Jacob (2009), Higher topos theory, p.392 ) Let$\mathcal{C}$ser uma categoria que admite colimites filtrados. Um objeto$C \in \mathcal{C}$é dito ser compacto se o functor; apresentável;$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ comuta com colimites filtrados.
( Categorias Abelianas, Daniel Murfet, Definição 18 ) Let$\mathcal{C}$ ser uma categoria e $A$ um objeto de $\mathcal{C}$. Nós dizemos isso$A$é compacto (ou às vezes pequeno) se sempre que houver um morfismo$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ de $A$ em um coproduto não vazio, há um subconjunto finito não vazio $J \subseteq I$ e uma fatoração de $u$ da seguinte forma $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$
Não sei como mostrar que são equivalentes, você poderia me ajudar?
Além disso, temos a definição do gerador de uma categoria abeliana.
( GERADORES VERSUS GERADORES PROJETIVOS CATEGORIAS INABELIAN, CHARLES PAQUETTE, p.1 ) Let$\mathcal{A}$ser uma categoria abeliana. Um objeto$M$ do $\mathcal{A}$ é um gerador de $\mathcal{A}$ se por qualquer objeto $X$ do $\mathcal{A}$, temos um epimorfismo $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ Onde $I$ é algum conjunto de índice.
Então, qual deve ser o gerador compacto? É um gerador tal que ocorre uma fatoração da seguinte forma?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (todas as setas estão invertidas ??)
Muito obrigado!
Respostas
Eles não são equivalentes. Por exemplo, objetos compactos de Lurie em uma categoria de$R$-módulos são iguais aos módulos finitamente apresentáveis. (O mesmo é verdadeiro para qualquer categoria de álgebras para uma teoria de Lawvere, ou seja, uma teoria algébrica cujas operações são finitárias, sujeitas a axiomas equacionais quantificados universalmente.) Por outro lado, objetos compactos de Murfet em uma categoria de$R$- os módulos não precisam ser gerados nem mesmo finitamente (embora sejam se $R$é Noetherian). Houve uma longa discussão sobre isso aqui: "Sums-compact" objects = fg objects in categories of modules?
Comunidades diferentes às vezes usam o mesmo termo de maneira diferente. O termo 'compacto' é, de certa forma, sugestivo, mas não acho que seja otimizado.
Parte da coisa complicada sobre esse círculo de idéias é que várias definições não são equivalentes na generalidade total, mas se tornam equivalentes com hipóteses extras. Por exemplo, um resultado básico sobre objetos compactos é a seguinte caracterização das categorias dos módulos, que entre outras coisas fornece uma caracterização das equivalências de Morita.
Teorema (Gabriel): Uma categoria abeliana cocompleta$C$ é equivalente à categoria $\text{Mod}(R)$ de módulos sobre um anel $R$ se admite um gerador projetivo compacto $P$ de tal modo que $\text{End}(P) \cong R$.
Tanto "compacto" quanto "gerador" no enunciado desse teorema são individualmente ambíguos. "Compacto" pode significar Lurie-compacto ou Murfet-compacto, e "gerador" pode ter algo como ~ 7 significados diferentes, talvez ~ 3 dos quais sejam de uso comum (?); veja Geradores e fechamentos de colimites de Mike Shulman (que discute 5 definições possíveis) e minha postagem no blog Geradores (que discute 6 definições possíveis, 4 das quais se sobrepõem às de Mike) para uma discussão.
O fato feliz é que, no entanto, o significado de "projetivo compacto" e de "gerador projetivo compacto" na afirmação do teorema de Gabriel é inequívoco:
- em uma categoria abeliana cocompleta, "projetivo compacto", usando compacidade de Lurie ou compacidade de Murfet, é equivalente à condição de que $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$comuta com todos os (pequenos) colimites (esta condição também é conhecida como minúscula ; consulte minha postagem no blog Objetos minúsculos para uma discussão) e
- para objetos projetivos compactos em uma categoria abeliana cocompleta, quase todas as definições de "gerador" que estou ciente entram em colapso e se tornam equivalentes. Vou me limitar a nomear dois: o mais fraco é que todo objeto diferente de zero admite um mapa diferente de zero de$P$ (que chamo de "gerador fraco"; esqueci se esse nome é padrão), e o mais forte é que todo objeto pode ser escrito como o coequalizador de um par de mapas entre coprodutos de cópias de $P$ (que eu chamo de "gerador de apresentação"; isso não é padrão. Em uma categoria abeliana, os coequalizadores podem ser substituídos por cokernels, mas esta definição generaliza bem para categorias algébricas, como grupos e anéis).
Existe a nuance adicional de que em um estábulo $\infty$-configuração categórica como aquela em que Lurie trabalha, parece que se pode abandonar a projetividade, mas não tenho certeza de quais são as afirmações precisas. Por exemplo, eu acredito que há um estábulo$\infty$- análogo categórico do teorema de Gabriel caracterizando categorias de módulos sobre $E_1$ espectro de anel e eu acredito que analógico envolve geradores compactos.
De qualquer forma, pelo que vale a pena, eu defenderia a compactação de Lurie como o significado "padrão" de compactação. A compactação de Murfet é bastante específica para o cenário abeliano, mas a compactação de Lurie é boa em muitos cenários; por exemplo, na categoria de modelos de uma teoria de Lawvere (grupos, anéis, etc.) um objeto é compacto de Lurie se for finitamente apresentado. Isso já implica no fato não inteiramente obvoius de que para módulos sendo finitamente apresentados é Morita invariante.
Apenas para adicionar um pouco de contexto à resposta de Todd, acho que a razão para essa confusão é que o uso original de "compacto", para espaços topológicos, pode ser generalizado de diferentes maneiras.
Em primeiro lugar, em um poset, as duas definições de compacto concordam. E se$C$ é Lurie-compacto, então um coproduto $\sum_i A_i$ é o colimite filtrado de coprodutos de subfamílias finitas do $A_i$, então a suposição implica que qualquer mapa de $C$ para dentro $\sum_i A_i$fatores através de alguns desses coprodutos finitos. (Na verdade, essa direção não exige que a categoria seja um poset.) Na outra direção, se$C$ é compacto de Murfet, então todos os colimites em um poset são coprodutos equivalentes, então qualquer mapa de $C$ em um colimite filtrado fatora por meio de um subcolimite finito, e por filtração que fatora por meio de um único objeto.
Em segundo lugar, um espaço topológico $X$ é compacto, no sentido tradicional, se e somente se o elemento superior de seu poset $\mathcal{O}(X)$de subconjuntos abertos é compacto em qualquer um desses sentidos categóricos. Portanto, a diferença decorre de generalizar esse significado de "compacto" para não-posets de maneiras diferentes. (Infelizmente, espaços topológicos compactos não são, em geral, compactos de Lurie ou compactos de Murfet na categoria de espaços topológicos!)