Operadores de criação e aniquilação em QFT
Como eu disse antes, não sou um especialista em QFT, mas estou tentando entender o básico de sua formulação rigorosa.
Vamos pegar o livro de Dimock , onde a fundação de QM e QFT é discutida. Se considerarmos, digamos, duas partículas, uma vivendo em um espaço de Hilbert$\mathcal{H}_{1}$ e o outro em outro espaço de Hilbert $\mathcal{H}_{2}$, a descrição do estado do sistema de duas partículas é dada em termos do produto tensorial $\mathcal{H}^{(2)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \mathcal{H}_{2}$. Claro, poderíamos ir mais longe e estudar um sistema$\mathcal{H}^{(N)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_{n}$. Se todas as partículas forem idênticas, então$\mathcal{H}_{1}=\cdots = \mathcal{H}_{n} \equiv \mathcal{H}$ e devemos levar em consideração subespaços simétricos e anti-simétricos de $\mathcal{H}^{(N)}$, que correspondem ao fato de que as partículas podem ser bósons ou férmions, respectivamente. Neste ponto, são definidos os operadores de simetrização e anti-simetrização. A próxima etapa é considerar um sistema de um número arbitrário de partículas. Neste ponto, define-se os espaços Fock$\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$para bósons e férmions. Além disso, define-se os operadores de criação e aniquilação$a(h)$ e $a^{\dagger}(h)$ em $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H})$.
Agora, pelo que eu entendo, tudo isso é mecânica quântica , não QFT. No entanto, essas idéias parecem encontrar análogos no QFT, e é aqui que fico confuso.
Na seção I.5 do livro de Feldman, Trubowitz e Knörrer, há uma rápida discussão sobre QFT (fermiônico) e afirma-se que, neste contexto, os operadores de criação e aniquilação são famílias especiais$\{\varphi^{\dagger}(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ e $\{\varphi(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ em um espaço Hilbert $\mathcal{H}$. Isso é muito diferente dos operadores de criação e aniquilação mencionados acima. Por exemplo, agora são famílias de operadores indexados por$x$ e $\sigma$. Eu acredito que isso é um reflexo do fato de que passamos de QM para QFT. Mas estou realmente perdido aqui e não sei qual é a diferença entre essas duas construções e definições. Alguém pode me ajudar por favor? Estou principalmente interessado em entender a segunda abordagem, desde a primeira eu acredito que entendo (pelo menos suficientemente bem). Se, além disso, você pudesse sugerir alguma referência onde essas ideias de Feldman, Trubowitz e Knörrer sejam discutidas com mais detalhes e rigor, eu agradeceria!
ADD: Com base no livro de Feldman, Trubowitz e Knörrer, parece-me que a compreensão desses objetos (para ser mais preciso, os objetos que eles descrevem brevemente nas primeiras 2 páginas da seção I.5) é fundamental para entender a formulação de um monte de modelos QFT (pelo menos para férmions). Portanto, eu apreciaria se alguém pudesse elaborar um pouco mais sobre a estrutura por trás desses operadores de criação e aniquilação e suas conexões com o caso quântico que é necessário para entender o resto da discussão no livro de FTK. Em outras palavras, acho que só preciso entender melhor essas primeiras definições (e como elas estão conectadas com o caso quântico usual que (pareço) saber) para ser capaz de entender o resto do texto.
Respostas
A conexão pode ser vista tomando $H = L^2(\mathbb{R}^3)$na primeira explicação. Este é o espaço de Hilbert de uma partícula tridimensional não relativística, sem spin. Pela soma direta das potências tensoras simétricas (antissimétricas) de$H$obtemos o espaço de Hilbert de um conjunto de partículas tridimensionais não-relativísticas, não-relativísticas e sem spin, conhecidas como espaço Fock. o$n$a potência tensorial representa os estados em que $n$ partículas estão presentes.
Agora temos operadores de "criação" e "aniquilação" que tomam estados no $n$poder tensor no $(n \pm 1)$potência do st tensor. Para cada estado$h$ no espaço Hilbert original $H$ há um operador de criação que tensiona com $h$ e simetrias (antisymmetrizes), tomando o $n$poder tensor no $(n+1)$st, e seu adjunto que vai na direção oposta e remove um fator tensor de $h$.
Na literatura de física geralmente trabalha-se com operadores idealizados de criação / aniquilação para os quais o estado $h$ é uma função delta fictícia de Dirac concentrada em algum ponto de $\mathbb{R}^3$. Isso é o que está descrito em sua segunda explicação. Como é usual na física, o espaço de Hilbert não é especificado, mas no caso de campos livres corresponde ao espaço de Fock na primeira explicação.
O espaço Fock é inadequado para modelar campos em interação (na verdade, aqui as questões matemáticas tornam-se profundas e fundamentalmente não resolvidas). No entanto, não é trivial; por exemplo, pode-se estudar campos quânticos livres contra um fundo de espaço-tempo curvo e derivar a radiação Hawking, o efeito Unruh, etc. A Teoria Quântica de Campos em Espaço-Tempo Curvo e Termodinâmica de Buraco Negro de Wald é uma explicação excelente e matematicamente rigorosa desse cenário.
Em QFT, a intuição é que se tem um espaço de Hilbert separado em cada ponto do espaço e se pega seu produto tensorial para obter o espaço de Hilbert de todo o campo. Eu indiquei como, intuitivamente, o espaço de Fock modela um "produto tensorial mensurável" de uma família de osciladores harmônicos (caso Bosônico) ou sistemas de dois estados (caso Fermionic) indexados por todos os pontos do espaço em minha resposta aqui . Veja a seção 2.5 do meu livro Mathematical Quantization para uma explicação completa.
Disclaimer: Eu não sou um físico matemático.
Mesmo com um espaço de Hilbert, a saber, o oscilador harmônico quântico , você pode definir operadores de "criação-aniquilação", exceto que, neste caso, eles simplesmente aumentam ou diminuem o nível de energia do sistema de partícula única.
Agora, você considera o espaço Fock $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$ da maneira que você descreveu acima: é na verdade um functor, daí a infame afirmação de que a segunda quantização é um functor.
Nela, você define novamente os dois operadores, mas os reinterpreta como operadores de escada que, a partir do estado fundamental, criam e destroem partículas. Formalmente, eles se comportam de maneira muito semelhante ao oscilador harmônico de brinquedo, e essa analogia é de longo alcance:
basicamente, ele informa que o campo quântico descrito pelo functor Fock pode ficar "excitado": as partículas são excitações do vazio (na verdade, existem algumas belas imagens de campos quânticos como conjuntos (infinitos) de osciladores harmônicos (acoplados), veja aqui )
O que isso tem a ver com a segunda definição? Se o campo quântico cria e aniquila partículas, ele pode fazer isso em cada ponto do seu espaço ambiente . Daí os índices ...