Os anéis compactos S-unitais são profinitos
É bem conhecido que os anéis unitais topológicos de Hausdorff compactos são profinitos. A prova generaliza para anéis s-unitais (esquerdo ou direito) (ou seja, anéis tais que para todos$r\in R$ temos $r\in Rr$ ou para todos $r\in R$ temos $r\in rR$)
Existe uma referência para este fato mais geral? Existe uma generalização adicional (ou seja, uma classe interessante de anéis, contendo anéis s-unitais, para os quais Hausdorff compacto implica profinito)?
(Observe que isso não é verdade para todos os anéis, dado qualquer grupo abeliano compacto de Hausdorff $A$, podemos doar $A$ com multiplicação zero, tornando-o um anel topológico de Hausdorff compacto.)
Respostas
Isso é essencialmente respondido em uma das respostas para Todo anel topológico compacto é um anel profinito? .
Se um anel compacto $R$ qualquer um não admite nenhum elemento $r\neq 0$ com $rR=0$ou a condição dual esquerda-direita então é profinita. Esta é a condição que o mapa de multiplicação induz e incorporação de$R$ nos endomorfismos do dual de Pontryagin de seu grupo de aditivos, que é o que você usa para provar a total desconexão.
Consulte Thm 3 de On Compact Topologica Rings. por Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244