Os homomorfismos preservam a ordem dos subgrupos?

Question

Eu li que o único homomorfismo possível de$\mathbb{Z}_7$para$\mathbb{Z}_{12}$é aquele que mapeia todos os elementos de$\mathbb{Z}_7$para$\{0\}$. Como se existe outro homomorfismo de$\mathbb{Z}_7$para$\mathbb{Z}_{12}$, deve ser capaz de mapear qualquer subgrupo não trivial de$\mathbb{Z}_7$, a um subgrupo de$\mathbb{Z}_{12}$. No entanto, isso significa que$\mathbb{Z}_{12}$teria um subgrupo de ordem$7$, o que é impossível.

Acho que o que está implícito na afirmação acima é que os homomorfismos preservam a ordem dos subgrupos... mas isso é verdade em geral?

Answer 1

Não é verdade em geral. Deixar$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$dado por$f(x)=2x$. O mapa$f$é claramente um homomorfismo, mas não preserva a ordem do próprio grupo.

Acho que essa afirmação significa, já que apenas subgrupos de$\mathbb Z_7$são$\{0\}$e o próprio grupo, núcleo de qualquer homomorfismo não trivial é$\{0\}$e assim qualquer homomorfismo não trivial é injetivo. Isso significa$\mathbb Z_7$é isomórfico à imagem de si mesmo, mas isso não pode acontecer, pois a imagem de um homomorfismo é um subgrupo de$\mathbb Z_{12}$e este grupo não tem um subgrupo de ordem$7$.