Podemos concluir que a sequência a $a_n$ de tal modo que $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, e $a_1 \neq 0$ está aumentando?
Temos uma sequência infinita $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ E é dado que $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (essa é a diferença entre os termos subsequentes estão aumentando e o primeiro termo não pode ser zero)
Podemos concluir que os valores absolutos dos termos subsequentes estão aumentando? Isso é o que podemos concluir$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Brincar com as desigualdades dadas na pergunta pode nos dar a informação de que os termos alternativos estão aumentando (em valor absoluto / numérico, deixando $a_1$ à parte, isto é, não comparando $a_1$com quaisquer termos, mas apenas cuidando para que não seja zero), mas não os termos consecutivos. Então, acho que não podemos concluir que os termos consecutivos estão aumentando numericamente.
Uma resposta explicativa é buscada.
Respostas
Considere a sequência $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ Onde $c_n\in\{+1,-1\}$, e a sequência $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.
Então $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ está aumentando, ainda por causa da escolha aleatória de $c_i$ não há como dizer se $a_n$está aumentando ou diminuindo. Aqui está um exemplo gerado por uma escolha aleatória de$c_n$.
Um contra-exemplo é suficiente e você pode produzir um com apenas três termos. Se você quiser ir um pouco mais longe e mostrar que não precisa haver um ponto além do qual os termos aumentem em valor absoluto, você tem que trabalhar um pouco mais, mas não muito. Por exemplo, deixe$a_1=1$, e em geral deixe
$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$
para que você obtenha a sequência $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; não é difícil mostrar por indução que, nesse caso$a_{2n-1}=n$ e $a_{2n}=1-n$ para todos $n\in\Bbb Z^+$. Evidentemente$|a_{n+1}-a_n|=n$ para $n\in\Bbb Z^+$, mas $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ para $n\in\Bbb Z^+$.