Por que o pushforward de um feixe invertível em BG para seu esquema grosso não é invertível?
Minha pergunta realmente diz respeito a um exemplo específico. Deixei$G = \mu_2$ seja o grupo cíclico de ordem 2. Let $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, e deixar $BG := [*/\mu_2]$ o quociente da pilha, onde $\mu_2$ age trivialmente em $*$. Deixei$\mathcal{O}_{BG}$ denotar o feixe de estrutura, e deixe $L$ denotam o feixe invertível em $BG$ correspondendo à representação não trivial de $\mu_2$ em $\mathbb{C}$. Portanto,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$, e a ação de $\mu_2$ em $*\rightarrow BG$ induz a ação de inversão de $\mu_2$ em $\mathbb{C}$.
Deixei $c : BG\rightarrow *$denotam o mapa canônico em seu esquema grosseiro. Eu ouvi que se$L$ denota o feixe invertível em $BG$ dada pela representação não trivial de $\mu_2$ em $\mathbb{C}$, então $c_*L$ não é invertível em $*$. No entanto, seguindo as definições (veja abaixo), parece que$c_*L$ é realmente invertível em $*$. Onde eu errei?
Pela definição de pushforward, acredito que as seções globais de $c_*\mathcal{O}_{BG}$ deve ser igual ao limite
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ onde o limite varia sobre todos os morfismos $f : *\rightarrow BG$ satisfatório $c\circ f = \text{id}_*$. Desde o grupo de automorfismo de$*\rightarrow BG$ age trivialmente em $\mathcal{O}_{BG}$, este é apenas o limite do diagrama de dois objetos $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, que é apenas a diagonal em $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Da mesma forma, as seções globais de $c_*L$ deve ser o limite do diagrama de dois objetos $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, que é apenas o conjunto de pares $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
A ação de $c_*\mathcal{O}_{BG}$ em $c_*L$ deve ser a ação de multiplicação coordenada do diagrama $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ no diagrama $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Ou seja, nas seções globais, a ação$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ deveria ser dado apenas por $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Isso parece fazer$c_*L$ em um feixe invertível em $*$, mas ouvi dizer que isso não é verdade. Onde eu errei?
Respostas
The pushforward $c_{\ast}L$ deve ser o limite do diagrama com um objeto "$\mathbb{C}$"e dois (auto) morfismos"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"e"$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; em outras palavras, é o equalizador de $\mathrm{id}$ e multiplicação por- ($-1$); então na verdade$c_{\ast}L = 0$.
Uma afirmação mais geral é: sob a correspondência entre quase coerente $\mathcal{O}_{BG}$-módulos e $G$-representations, o functor pushforward $c_{\ast}$ corresponde ao $G$-invariants functor.
Se substituirmos $\mathbb{C}$ por um campo de característica 2, então teríamos que ser cuidadosos - em geral quase coerente $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-módulos são $\mathbb{Z}/(2)$-representações e quase coerente $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-módulos são $\mathbb{Z}/(2)$-espaciais vetoriais graduados (o pushforward aqui corresponde a tirar o diploma $0$ componente classificado).