Porque é o $i\epsilon$- prescrição necessária no propagador de Klein-Gordon?

Question

Ao avaliar o propagador de Klein-Gordon, no livro de P&S , p. 31, vejo que, é comum mudar os pólos e adicionar$i\epsilon$no denominador. Eu não entendo porque isso é necessário. Por que não podemos simplesmente usar análises complexas? O que há de errado nas etapas a seguir?

\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}

O que há de errado em proceder dessa maneira? Não podemos apenas fazer a integração$p^0$ como é feito para o $z$-variável? Obviamente,$a$ será função de $\vec{p}$ e $m$.

Answer 1

Observe que a integral original que você está tentando calcular está sobre a linha real, não sobre um contorno fechado, então o teorema de Cauchy não se aplica até que você encontre uma maneira adequada de fechar o contorno. Devido à presença do fator exponencial$e^{ibz}$, como você escreveu, pode-se fechar o contorno na metade superior do plano se $\mathrm{Re}\, b>0$. Vamos supor que seja esse o caso. Agora seus dois pólos estão na verdade na linha real, então também precisamos especificar em que direção devemos contorná-los. Já que você está fechando o contorno acima, e está recolhendo ambos os resíduos, está implicando que está passando por baixo desses dois pólos. Se você passasse por cima deles, eles estariam fora de seu contorno e não contribuiriam. Como você está passando abaixo de seus dois pólos, poderíamos descrever de forma equivalente o que você fez, dizendo que os dois pólos são deslocados para cima no plano complexo em uma quantidade infinitesimal$+i\epsilon$. Isso garantiria que você passasse por baixo deles à medida que se integrasse ao longo do eixo real. Então você vê que também incluiu alguns$\epsilon$está no seu cálculo também, embora você não o tenha reconhecido.

Para cálculos em QFT, há uma prescrição física correta para qual caminho contornar os pólos, que é chamada de prescrição de Feynman e difere do que você fez acima. Isso é bem abordado no P&S.