Probabilidade de selecionar uma mão de pôquer
Estou tentando resolver um problema de probabilidade sobre a mão de pôquer de cinco cartas. Eu tenho acesso a uma resposta que é diferente daquela que eu havia sugerido. A questão é:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
Minha resposta a esta pergunta foi a seguinte: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Que significa:
- Primeiro selecione um número de cartão e depois selecione seus dois naipes, ou seja. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Estas serão as duas cartas do mesmo valor.
- Selecione três outros cartões que não sejam duplicados como: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.
A resposta correta não corresponde à minha resposta. Esta resposta é fornecida no livro AOPS e é a seguinte:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
Portanto, a questão é: o que estou fazendo de errado? obrigado
Respostas
Por regra de produto , após o primeiro número de cartão selecionado e seus dois naipes, precisamos selecionar$3$ cartas com $3$ valores diferentes que são $\binom{12}{3}$ e então para cada um podemos escolher entre quatro naipes que são $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Pelo seu método as seleções$\binom{48}{1}$ e outros dois subsequentes estão errados porque você os está superestimando (por exemplo $3,5,8$ seria diferente de $5,3,8$) Portanto, pela sua maneira de contar, você precisa dividir por$3!=6$.
a solução do seu livro está correta. Vamos explicar o brainstorming correto.
Para obter exatamente um par em 5 empates, você tem:
13 opções para escolher o par {AA, 22,33, ...}
para cada par que você tem $\binom{4}{2}$ opções para escolher o naipe: copas, ouros, paus ou espadas
para os 3 empates restantes você tem $\binom{12}{3}$ escolhas de cartas diferentes
para cada escolha anterior que você tem $4^3$ escolhas para o naipe: copas, ouros, paus ou espadas
multiplique todos os pontos anteriores obtidos.
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
Suponha que você selecione a mão $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Seu método conta esta mão$3! = 6$ vezes, dependendo da ordem em que você seleciona os três singletons.
A ordem em que os três singletons são selecionados não importa, e é por isso que a resposta correta seleciona três classificações das quais uma única carta é retirada e, em seguida, seleciona uma carta de cada uma dessas classificações.
Observe aquilo $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
Número de casos possíveis: $ c_p = \binom{52}{5} $.
Número de casos favoráveis:
Escolha o primeiro conjunto de cartas: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Observe que o primeiro binômio é usado para escolher um número de cartão e o segundo para escolher dois símbolos de quatro.
Escolha os três conjuntos de cartas distintos: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Observe que o primeiro binômio é usado para escolher três cartas e o segundo para escolher apenas um símbolo para cada uma das três cartas.
Resultado: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
Em sua solução, os três últimos binômios podem fornecer um conjunto de três cartas idênticas, porque você apenas escolhe cartas, não símbolos.
Você e o livro contam de forma diferente como selecionar as três cartas restantes. Sua resposta é:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ A resposta do livro é: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Eles diferem por um $3!$fator, que é precisamente o número de permutações de três objetos distintos. Isso sugere que você está considerando a ordem das três cartas restantes.