Problema com ângulos direcionados que somam ${\pi \over 2}$.

Aug 18 2020

Eu estava resolvendo uma seção em meu livro (EGMO Lema 1.30) onde o autor discute o uso de ângulos direcionados, quando me deparei com -

Pontos $A, B, C$ deitar em um círculo com o centro $O$. Mostra isso$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.

Deixe-me denotar o ângulo direcionado com $\measuredangle$.(em toda parte)

Aqui está uma tentativa; o autor fala sobre os ângulos dirigidos em azul, e deve-se mostrar que somam a metade$\pi$radianos. As linhas em vermelho são minha própria construção.

Por ângulos direcionados, sabemos que $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(o teorema do ângulo inscrito).
E também aquele$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (triângulo $OAC$ é isósceles).

Agora, por um teorema de ângulos direcionados, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Mas depois disso, como estamos trabalhando módulo $\pi$ radianos, é ininteligível multiplicar ou dividir por $2$, o que eu tenho que fazer, então minha tentativa falhou.

Felizmente, as respostas são bem-vindas.

Respostas

1 AnindyaPrithvi Aug 18 2020 at 23:34

Por ângulos direcionados, sabemos que $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(o teorema do ângulo inscrito).
E também aquele$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (triângulo $OAC$ é isósceles).

Agora, por um teorema de ângulos direcionados, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Depois disso, podemos escrever $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ e re-substituir $\measuredangle$ $COA$ Como $2\times \measuredangle$ $CBA$

Nós temos, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

o que é equivalente a escrever como $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

Divida os dois lados por $2$e prossiga para obter $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

Conseqüentemente provado.