Provando a convergência na distribuição usando o teorema da continuidade de Levy

Aug 16 2020

Estou tentando resolver a seguinte questão - as partes (a) e (b) parecem ter uma estrutura muito semelhante, mas não consigo resolver a parte (b):


minha tentativa:

Para a parte (a), aplicamos o teorema da continuidade de Levy. Fixar$u \in \mathbb{R}$e nota$$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$

pela independência de$N_t$e a$X_M(k)$e aplicando convergência dominada para trocar a soma e expectativa pela segunda igualdade e pela propriedade iid do$X_M(k)$para o terceiro. Vamos lidar apenas com o expoente por enquanto e, para abreviar, definimos$Z \equiv X_M(1)$:

$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$onde novamente aplicamos a DCT e notamos que pela simetria da distribuição para$Z$que sua expectativa é 0.

$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$

Onde$c = \frac{i u}{\sigma_M}$. Para cada$t \ge 1$e a soma acima tem módulo limitado (por$\exp(|c|M)$por exemplo), justificando assim a convergência da função característica para a de um$N(0,1)$e podemos concluir a parte (a).


Para a parte (b), tenho tentado fazer a mesma coisa, o que obviamente exigirá o cálculo de$\sigma_M$já que não usamos isso na parte (a). É trivialmente mostrado que (por brevidade, coloque$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$)$$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$

Acredito que a convergência após a linha (L) pode ocorrer se e somente se$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$Eu tentei reescrever o módulo da soma para incluir todas as informações sobre$\sigma_{M(t)}$, ou seja, igual a$$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$Não tenho ideia de como tirar essa conclusão daqui. Por favor, ajude se puder - perdi uma quantidade estúpida de tempo com isso.

Respostas

1 SangchulLee Aug 16 2020 at 11:43

Ao notar que existe uma constante$C > 0$para qual

$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$

vale para todos$x \in \mathbb{R}$, temos

\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}

Agora notando que

$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$

podemos limitar ainda mais a diferença como

$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$

para uma constante absoluta$C_2 > 0$. Como esse limite converge para$0$Como$t \to \infty$pela suposição de$M$, a conclusão desejada segue.


Termo aditivo.

  1. Acredito que$\pi$no denominador de$\text{(5)}$é um erro de digitação. A fórmula correta seria$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$

  2. Validade de$\text{(*)}$depende criticamente da restrição$x \in \mathbb{R}$, e assim, não pode ser obtido diretamente da expansão da série de potências. No entanto, isso pode ser provado usando uma fórmula explícita para o termo restante na aproximação de Taylor. Por exemplo, podemos utilizar$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$provando assim$\text{(*)}$com$C = \frac{1}{6}$.