Provando que uma função por partes é Darboux integrável em $[0,2]$ assistência

Aug 16 2020

Deixei $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ ser dado por

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Provar que $f$ é Darboux integrável e computacional $\int_{0}^{2}f$.

Tentativa

Que a função é Darboux meios integráveis ​​para todos $\epsilon > 0$, existe uma partição $P$ do $[0,2]$ de tal modo que $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Suponha $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ é uma partição de $[0,2]$ com $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Para, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Também para $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Agora estou tendo problemas para gerenciar $x = 1$que é onde está a descontinuidade e obviamente o desafio do problema. No começo eu ia dizer que$m_{i} = M_{i} = 100$ qualquer intervalo em que o número 1 esteja e isso me daria:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

e

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Então, subtraindo estes eu obteria $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Mas sinto que essa não é a resposta certa e preciso expressar a partição um pouco mais explicitamente. Também qualquer$U(f,P) - L(f,P)$ou seja, vai eventualmente convergir para o que a integral é. E ao calcular a integral (como uma verificação usando técnicas de cálculo anteriores) eu obtenho$5$que não é o valor da diferença nas somas superior e inferior. Onde eu estou errando?

Respostas

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

Fixo $\varepsilon$ e levado $\delta$ pequeno o suficiente, você pode levar $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
de modo a \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} para que tenha $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ você tem que escolher $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$