Prove ou refute fatos básicos sobre uma série subvergente (definição inventada)

Question

Estou autoaprendendo a análise real de Understanding AnalysisStephen Abbot. Gostaria de perguntar se deduzi as conclusões corretas para as afirmações abaixo sobre uma série subvergente (definição inventada).

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$

Definição . Digamos que uma série subverde se a seqüência de somas parciais contém uma subseqüência que converge.

Considere esta definição (inventada) por um momento, e então decida quais das seguintes afirmações são proposições válidas sobre séries subvergentes:

(a) Se $(a_n)$ é limitado, então $\sum a_n$ subverge.

(b) Todas as séries convergentes são subvergentes.

(c) Se $\sum \absval{a_n}$ subverte, então $\sum a_n$ subverte também.

(d) Se $\sum a_n$ subverte, então $(a_n)$ tem uma subseqüência convergente.

Prova. (a) Esta proposição é falsa. Como contra-exemplo, considere a sequência$(a_n):=1$. A sequência de somas parciais é$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Sem subsequência de$(s_n)$converge. Assim,$\sum {a_n}$ não é subvergente.

(b) Como a série é convergente, a sequência das somas parciais converge e, portanto, qualquer subsequência das somas parciais também converge para o mesmo limite. Assim, todas as séries convergentes são subvergentes.

(c) Acho que essa proposição é verdadeira. Deixei$(s_n)$ seja a sequência de somas parciais dos valores absolutos e $(t_n)$ seja a sequência de somas parciais da série $\sum a_n$.

Por definição de subvergência, existe alguma subsequência $(s_{f(n)})$ do $(s_n)$que converge. Sem perda de generalidade, assuma$(s_{2n})$é uma dessas subseqüências convergentes. Então, existe um$N \in \mathbf{N}$ de tal modo que, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}

para todos $n > m \ge N$.

Usando este fato, podemos escrever uma boa desigualdade para a subsequência $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}

para todos $n \ge N$.

Como o acima é verdadeiro para todas as subsequências $(s_{f(n)})$ Onde $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ é uma bijeção, $\sum a_n$ é subvergente.

(d) Não consigo pensar em um contra-exemplo para isso.

Answer 1

• Para a) sua prova está ok
• Para b), ok também
• Para c), eu teria escrito:

Vamos $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ e $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ para todos $n$.

Então para todos $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ e $a_n = a_n^+ - a_n^-$.

Desde a $\sum |a_n|$ é subvergente, e $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ e $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, nós temos isso $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ são subvergentes, então a soma $\sum a_n$ é subvergente.

(O fato de que se $\sum u_n$ converge com $(u_n)$ positivo, então para todos $(v_n)$ tão positivo que $\forall n,v_n\leqslant u_n$ subversões mereceriam uma prova, mas não é tão difícil)

• Para d) eu defino $(a_n)$ tal que para $n\geqslant 0$,

$a_{2n} = -n$ e $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.

Então $\sum a_n$ converge desde (se notarmos $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ converge quando $n\rightarrow +\infty$.

Mas claramente não temos uma subsequência que converge.