Quais são alguns dos primeiros exemplos de continuação analítica?

Jan 25 2021

Estou me perguntando como Riemann sabia que $\zeta(z)$poderia ser estendido a um domínio maior. Em particular, quem foi a primeira pessoa a estender explicitamente o domínio de uma função com valor complexo e qual foi a função?

Respostas

8 TomCopeland Jan 26 2021 at 00:34

(Expandido em 26/01/21

Em primeiro lugar, deixe-me apontar para falantes não nativos de inglês que o uso do artigo 'a' na frase 'uma função de valor complexo' significa que a questão não é apenas em referência ao Riemann ou qualquer outra função zeta. Inclui qualquer função cujo domínio é algum conjunto de reais, então eu interpreto a pergunta como "Quem é o primeiro a ter publicado uma extensão do domínio de uma função significativa de algum conjunto de reais para algum domínio contínuo do complexo, e qual era essa função? " Para mim, o significado exato do termo continuação analítica e se é único ou não é uma questão diferente.

A primeira frase e vários dos comentários enfocam a função zeta de Riemann. Riemann não estava sozinho e seus interesses eram muito mais amplos do que o foco às vezes quase obsessivo hoje no RH poderia sugerir. Seus interesses abrangiam praticamente todas as análises complexas, então era natural para ele considerar extensões de funções reais para funções complexas.

Difícil de acreditar (cheira a algum tipo de preconceito regional) que nenhum matemático antes de Euler acordou uma manhã e pensou: "E se eu modificar minhas fórmulas reais para incluir aquela raiz quadrada maluca de -1?" Roger Cotes foi preparado para fazer isso de forma significativa com seu interesse em astronomia e mecânica celeste; familiaridade com o trabalho de seu colega Newton nas repetições em série das funções trigonométricas, suas inversas, o cálculo e a mecânica newtoniana; uso das tabelas logarítmicas introduzidas no início de 1600 por Napier para lidar com cálculos com grandes números encontrados em levantamentos da Terra e dos céus; e trabalhar em interpolação (Cotes 'e Newton).

Deixe-me enfatizar novamente que Cotes estava familiarizado com a inversão composicional das séries de potências de Newton (uma fórmula inclui a versão associaédrica da fórmula de inversão de Lagrange para séries formais, ver Ferraro abaixo), incluindo aquela para a função exponencial, e, conforme observado por Griffiths ' comentário ao post " A feitura do logaritmo " de Freiberger: Sem essas tabelas de logaritmos não haveria teoria de Nicholas Mercator da área sob uma hipérbole simétrica igualando o log da distância ao longo do eixo x, nem da reversão de Isaac Newton da fórmula da hipérbole para alcançar a série infinita para o antilogaritmo $e^x$. (Mapas de Mercator, começando a ver os pontos?) Na verdade, Ferraro discute nas páginas 74 e 75 de "A ascensão e o desenvolvimento da teoria das séries até o início da década de 1820" como Newton inverteu a série de potências para o logaritmo$-\ln(1-x)$ para obter a série de potências do antilogaritmo $1- e^{-x}$. (Newton com seu excelente domínio de geometria e análise certamente teria notado a relação do teorema da função inversa simples aqui entre as derivadas das duas séries também.)

Consequentemente, parece natural que no nascimento do cálculo e sua associação com séries de potências e inversos composicionais, Cotes tenha escrito em 1714, quando Euler tinha sete anos,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

uma versão nascente da fórmula fabulosa de Euler de 1748 (cf. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Uma verificação óbvia com a derivada (ou fluxões) verifica a fórmula sem o uso explícito do exponencial

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

que tenho certeza que foi SOP para Newton e Cotes - aplicação da regra da cadeia, também conhecida como teorema da função inversa neste caso, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, o que de fato torna a fórmula óbvia.

Em "A história dos conceitos exponencial e logarítmico", Cajori explica como John Bernoulli considerou as soluções de uma equação diferencial transformada de reais para o imaginário em 1702 e dá a derivação de Cotes de sua fórmula, que Cotes publicou em 1714 e 1722. Cajori também afirma que posteriormente Euler não se intimidou em usar números imaginários.

A fórmula de Euler como escrita hoje teve que esperar pelo desenvolvimento de Euler e colegas do representante simbólico da função exponencial $\exp(z) = e^z$ com $e$sendo a constante de Euler, às vezes referida como constante de Napier, uma vez que ocorria nas tabelas de registro de Napier. Isso foi depois de muitos cálculos subjacentes ao registro terem sido explicados por Huygens e outros. A função exponencial era algumas vezes chamada de 'antilogaritmo', refletindo a prioridade do log, conforme observado na postagem do log.

A fórmula logarítmica de Cote é uma extensão dos reais positivos para o reino dos números complexos do argumento do logaritmo de uma forma um pouco mais difícil do que simplesmente substituir $n$ na série representante de $\zeta(n)$ por números reais na linha real e então para outros números no plano complexo.

De acordo com o artigo da Wikipedia sobre Cotes, ele publicou um importante teorema sobre as raízes da unidade (e deu o valor de um radiano pela primeira vez) em 1722 em "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(Teoremas, alguns logorítmicos, alguns trigonométricos, que produzem os fluentes de determinadas fluxões pelo método de medidas posteriormente desenvolvido). Ele entendeu trigonometria muito bem e, a partir dessa perspectiva, as fórmulas de Cotes e de Euler podem ser consideradas como a continuação das soluções de$|x| = 1$no plano complexo. As soluções definem a função muito simples com domínio 1 e -1 e intervalo 1, que é então continuado analiticamente como um círculo de raio 1 no domínio complexo - um tipo de interpolação (passe o mouse sobre o link de interpolação no Wiki em Roger Cotes ) satisfazendo uma equação funcional simples$|f(x)|=1$. (Outros exemplos de tipos de interpolação / continuação analítica de funções com domínios inteiros discretos para aqueles com domínios complexos contínuos (relacionados a Newton e interpolações sinc / série cardinal) são fornecidos neste MO-Q e neste MSE-Q .)

De uma perspectiva mais ampla, a fórmula de registro de Cotes é um exemplo claro de continuação analítica do registro como um mapeamento dos números reais para o real para um mapeamento do complexo para o complexo. Cotes estava, é claro, ciente de que (de fato utilizado, e teria dado como certo que qualquer pessoa familiarizada com o registro também sabia), pois$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

então ele escreveu a parte mais difícil da continuação analítica do log dos reais positivos para o complexo (embora não explicitamente explicando a multiplicidade)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Refs em Wikipedia: John Napier , The History of Logaritmos , Logaritmo , Roger Cotes , a identidade de Euler , Fórmula de Euler .

Além da soma de Euler com argumentos complexos, Euler foi o primeiro a estender o fatorial para a função gama para argumentos complexos para desenvolver um cálculo fracionário com seu representante integral híbrido de Mellin-Laplace para a função gama (consulte " O legado de Euler para a física moderna "por Dattoli e Del Franco e o MSE-Q mencionado acima). A integral de Euler para a função beta permite o mesmo para os coeficientes binomiais generalizados, o que Newton (novamente, colega de Cotes) havia feito para a extensão para reais dos coeficientes binomiais inteiros. Infelizmente, Euler não entendeu totalmente a extensão para números complexos (Argand e Wessel vieram depois), caso contrário, ele teria escavado Cauchy, Liouville e Riemann no cálculo da análise complexa.

Para uma pré-história da função zeta de Riemann, consulte " Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz ", de Oswald e Steuding. Os autores não dizem se 's` é real ou complexo em sua discussão sobre a pré-história do zeta. Teria sido natural para Euler e outros antes de Riemann considerar$s$complexo. Euler tinha a associação a potências de pi até mesmo para argumentos inteiros de zeta que teriam sugerido uma conexão com o complexo por meio de sua fórmula fabulosa e de sua fórmula de reflexão para a função gama, mas então ele não tinha muito a colher dessa perspectiva sem a de Riemann Representante de transformação de Mellin. por meio do qual Riemann foi o primeiro a realmente descobrir novas propriedades do zeta, a aplicar a fórmula de reflexão de Euler para dar ao contorno de Hankel a continuação do zeta do semiplano direito ao plano complexo completo e a desenvolver um algoritmo inteligente para determinar o não -Zeros triviais, entre outros desenvolvimentos.

Uma pista falsa parece ser algum esforço míope para forçar uma dicotomia artificial entre interpolação e continuação analítica. Eu uso o interesse e habilidade de Cotes (e de Newton) em interpolação no reino real (certamente relacionado à aproximação de órbitas celestes) para indicar que ele estava predisposto a fazer continuações analíticas. Além disso, não há dicotomia. Em várias questões de MO e MSE, mostro como a interpolação está relacionada à continuação analítica do fatorial para a função gama, os números de Bernoulli para o zeta de Riemann, os polinômios de Bernoulli para o zeta de Hurwitz e o cálculo clássico de potências inteiras da derivada op para valores não inteiros complexos, entre outras interpolações / ACs (por exemplo, comece neste MO-Q ou neste MO-Q ). Elas podem estar relacionadas a interpolações de função sinc / série cardinal, interpolação de expansão binomial e / ou interpolação de Newton e provavelmente outras (por exemplo, este MO-Q ). Algumas associações mais sofisticadas estão relacionadas ao teorema de Mahler e ao ref na resposta a este MO-Q . Um aspecto dos dons de Riemann foi seu insight sobre como isso está relacionado à transformação de Mellin.

(Para viés de acessibilidade, consulte Khaneman e Tversky.)