Quais são as limitações da linguagem da matemática?
Disseram-me que a matemática não pode expressar qualitativamente quais são os elementos de um conjunto, de modo que você não pode dizer, por exemplo, que os membros de um conjunto consistem em tigres brancos. Portanto, a matemática não pode adicionar detalhes qualitativos a um conceito matemático ou a uma instância matemática. Gostaria de saber quais são algumas das outras limitações da linguagem matemática em comparação com a linguagem escrita ou falada, como o inglês.
Respostas
A linguagem matemática é simplesmente uma forma mais rigorosa de falar sobre o mundo. Não há nenhuma limitação a esse respeito que não seria uma limitação para qualquer idioma.
O fato de ninguém saber hoje como expressar piadas, trocadilhos e poesia matematicamente não significa que eles não possam ser expressos matematicamente. Houve um tempo em que ninguém sabia expressar probabilidades matematicamente, por exemplo, e olha agora...
O fato de não haver poemas escritos na linguagem matemática não implica que isso não possa ser feito. Pelo contrário, parece uma consequência direta do fato de ser uma linguagem especializada e que, portanto, a maioria das pessoas não a entende bem o suficiente.
Quanto às piadas, aqui está uma, escrita na linguagem da lógica formal:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
Na verdade, é muito engraçado, mas você precisa entender e poucas pessoas entendem.
Ao contrário de alguns comentaristas aqui, há uma grande diferença entre matemática e linguagem, apesar do fato de que qualquer frase pode obviamente ser traduzida em "informação" matematizada.
Russell, os Positivistas Lógicos e outros decidiram livrar a linguagem de suas qualidades obscuras, reduzindo tanto a linguagem quanto a matemática à lógica. Embora o trabalho tenha sido bastante frutífero, o projeto em si foi considerado um fracasso, pelo menos como um sistema completo. A ruptura entre o Wittgenstein inicial e o tardio oferece um resumo dramático desse "fracasso", dada a natureza vasta, complexa, viva e performativa da linguagem.
Em primeiro lugar, a linguagem é incorporada, experiencial e principalmente oral. Começa com as vibrações no útero e continua com a vida humana, os contextos físicos e a reprodução. Podemos transcrever palavras em alfabetos visuais, mas isso requer um processo de aprendizado árduo e nada natural. Você não pode traduzir esses sinais visuais de volta para a linguagem sem acesso às palavras faladas. Além de pictogramas grosseiros, você não pode traduzir ou recuperar uma "língua morta" como o Linear A sem alguma relação, ainda que indireta, com uma língua "falada" viva.
Isso sugere que a linguagem tem o mesmo tipo de irreversibilidade temporal que a própria vida, enquanto a matemática é "reversível" e, portanto, vazia de significado, se "significado" tiver a ver, como diz Luhmann, com relações do real ao possível. A matemática tenta esvaziar-se de tanto conteúdo experiencial quanto possível, enquanto a linguagem é experiência e sempre assume, embora remotamente, um falante corporificado com uma história e um ambiente particulares.
Não podemos aprender matemática sem linguagem, mas facilmente aprendemos linguagem sem matemática. Em teoria, é claro, alguns podem argumentar que a IA acarretaria uma matematização das habilidades únicas de linguagem humana que se movem dentro e entre os cérebros. Mas uma das capacidades linguísticas dos cérebros inteligentes é que eles se reproduzem, embora seja muito duvidoso que as máquinas de computação possam se reproduzir fora de um ambiente de reprodução humana.
Há uma distinção importante entre matemática pura e matemática aplicada.
A matemática pura preocupa-se inteiramente com verdades abstratas da forma geral "dadas certas condições ou postulados formais iniciais, quais são as consequências?" Por exemplo, em um sistema axiomático, essas condições formais são divididas em primitivos , relações e axiomas que definem como as relações se aplicam entre primitivos. Mas os primitivos e as relações não têm significado intrínseco.
Quando algum significado é aplicado a um primitivo, o exercício torna-se um exercício de matemática aplicada. Uma dada disciplina matemática pura pode receber muitos significados diferentes, cada um levando a um ramo diferente da matemática aplicada. Como David Hilbert certa vez observou apocrifamente sobre a geometria axiomática, pode-se perfeitamente aplicar "pontos", "linhas" e "planos" a mesas, cadeiras e canecas de cerveja.
Assim, as propriedades matemáticas dos elementos de um conjunto, como espaços reservados primitivos, são o domínio da matemática pura, enquanto as propriedades matemáticas de uma jaula cheia de tigres brancos são o domínio da matemática aplicada.
Há muita matemática sólida por trás das cores e da música. Na teoria dos conjuntos, você pode falar sobre conjuntos com diferentes cardinais transfinitos para seu número de cores.
A estrutura lógica pode ser diagramada, em geral e para conceitos específicos.
Ainda assim, eu limitaria minhas apostas e apenas diria que não sabemos se podemos associar cada conceito relevante com sua própria matematização, de maneira relevante. Nos casos em que o sucesso não parece próximo, pode ser que ainda não tenhamos descoberto a palavra problema, por assim dizer.