Quais são os elipsóides de John para um par de conjuntos convexos (9 e 15 dimensões) de $4 \times 4$ matrizes positivas-definidas?
Quais são os elipsóides John ( JohnEllipsoid ) para os conjuntos convexos de 9 e 15 dimensões ($A,B$) do $4 \times 4$matrizes simétricas (hermitianas) (na linguagem quântica-informação, os conjuntos de “dois-Rebit” e “dois-qbit” “matrizes de densidade” [definida positiva, traço-1 DensityMatrices ], respectivamente)? (Esses corpos são "centralmente simétricos", no sentido de um aspecto do teorema subjacente JohnTheorem ?)
Além disso, qual é a relação (interseções, ...) desses elipsóides com os subconjuntos convexos importantes de $A$ e $B$ composto por aquelas matrizes que permanecem definidas-positivas sob a operação (não completamente positiva) de transposição parcial - pela qual os quatro $2 \times 2$ blocos do $4 \times 4$as matrizes são transpostas no lugar? (Foi estabelecido [ MasterLovasAndai ] que as frações do volume euclidiano ocupadas por esses subconjuntos convexos "PPT" [transposição parcial positiva / separável / não emaranhada] são$\frac{29}{64}$ para $A$ e $\frac{8}{33}$ para $B$.)
Além disso, qual é a outra relação desses elipsóides com as "esferas" (as bolas máximas inscritas em $A$ e $B$[ SBZ ])? As esferas também estão dentro dos conjuntos PPT. Poderiam os elipsóides e as esferas de John simplesmente coincidir?
Além disso, quais podem ser os próprios elipsóides John para esses conjuntos PPT?
Há um conceito interessante de "elipsóide de direção", referido na seguinte citação p. 28 [SteeringEllipsoid] :
Para estados de dois qubit, os estados condicionais normalizados que Alice pode orientar o sistema de Bob para formar um elipsóide dentro da esfera Bloch de Bob, referido como elipsóide de direção (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014 )
No entanto, a "esfera de Bloch" é tridimensional, portanto, o elipsóide de direção de um estado de dois qubit não pode ser o elipsóide de John (15-dimensional) solicitado acima.
Claro, a questão de quais são os elipsóides de John pode ser feita para os conjuntos convexos de $m \times m$ simétrico e $n \times n$ Matrizes de densidade Hermitiana (positiva-definida, traço 1) ($m,n \geq 2$) Para$m,n=2$, as respostas parecem triviais, ou seja, os próprios conjuntos convexos. Para$m,n =3$, parece possivelmente não trivial. Apenas, no entanto, para valores compostos de$m,n$, temos perguntas subsidiárias em relação aos subconjuntos convexos de estados PPT.
O artigo da Wikipedia fornecido pelo primeiro hiperlink acima descreve o
"volume máximo do elipsóide inscrito como o elipsóide interno de Löwner-John".
[ DensityMatrices ]: Slater - Uma fórmula concisa para probabilidades generalizadas de separabilidade de Hilbert-Schmidt de dois qubit
[ JohnTheorem ]: Howard - O teorema do elipsóide de John
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Mestre Lovas-Andai e fórmulas equivalentes verificando o$\frac8{33}$ probabilidade de separabilidade de Hilbert-Schmidt de dois qubit e conjecturas de valor racional associadas
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson e Życzkowski - sobre a estrutura do corpo de estados com transposição parcial positiva
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen e Gühne - direção quântica
Respostas
Comecemos com duas fórmulas aparentemente relevantes. O primeiro é para o volume de um$k$elipsóide dimensional [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {equation} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {equation} onde o$a_i$'s são os comprimentos dos semi-eixos.
O outro é para o volume do conjunto de $m \times m$matrizes simétricas e positivas definidas do traço 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {equation} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {m! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {equation}
Para o caso (“dois rebit”) $m=4$ ($k=9$) de interesse imediato, a fórmula produz \ begin {equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ approx 0,0016106. \ end {equation}
Assim, a questão de particular interesse para nós é que proporção deste volume é ocupada pelo elipsóide Lowner-John interno para o conjunto convexo do conjunto de 9 dimensões $4 \times 4$(densidade) matrizes. Além disso, qual é a sua magnitude em comparação com$\frac{29}{64}$, a fração estabelecida por Lovas e Andai para a separabilidade - equivalentemente, PPT - probabilidade dos estados de dois rebit? Além disso, em comparação com o volume da esfera interna (para o qual não temos cálculo atual imediato).
Assim, para abordar essas questões, geramos pares de “matrizes de densidade de dois rebit” geradas aleatoriamente (sec, 4, RandomDensityMatrices ), usando métodos de conjunto de Ginibre. Em seguida, pegamos os valores absolutos de suas diferenças e dividimos por 2. Nove entradas independentes (três diagonais e as seis superiores fora da diagonal) da matriz resultante, foram tomadas como semieixos.
Neste momento, geramos cerca de dezesseis milhões desses pares. O par de$4 \times 4$ matrizes de densidade para as quais encontramos o volume máximo de elipsóide associado, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (apenas 0,0000432642 de $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), até agora são \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.146387 & 0,157489 \\ -0,177458 & 0,0925659 & 0,157489 & 0,116669 \\ \ end {array} \ right) \ end {equation} e \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0,135144 & 0,189631 & -0,03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {equation} Metade das diferenças absolutas para essas duas matrizes das três entradas diagonais anteriores e as seis entradas fora da diagonal superiores são usadas como os nove semi-eixos na primeira fórmula dada acima.
Deixe-nos também apontar que há uma alternativa - mas equivalente até certos fatores de normalização - abordagem para calcular os volumes de $m \times m$matrizes de densidade ( AndaiVolume ). Andai, no entanto, restringiu a atenção ao$2 \times 2$ Caso hermitiano, e não deu uma alternativa explícita à fórmula de volume de Zyczkowski e Sommers apresentada acima - então, neste momento, não temos certeza de que forma ela tomaria.