Qual é a diferença entre essas duas soluções dessa questão de probabilidade?
O problema: 8 bolas idênticas são colocadas aleatoriamente em três sacos. Qual é a probabilidade de que a primeira sacola contenha 3 bolas?
A solução que encontrei: podemos distribuir 8 bolas idênticas entre 3 sacolas diferentes de 45 maneiras diferentes. Dessas 45 maneiras, em 6 maneiras, a primeira sacola conterá exatamente 3 bolas. Então, a probabilidade é$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$
Mas com distribuição binomial, e é assim que a maioria das pessoas (no Quora) resolveu essa questão, e essa abordagem também parece bastante intuitiva, a probabilidade de que uma bola seja colocada na primeira sacola é 13. A probabilidade que exatamente 3 das 8 bolas terminarão no primeiro saco pode ser encontrado usando a distribuição binomial:
8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273
Eu só quero saber, por que as respostas dessas duas abordagens são muito diferentes?
Respostas
O problema diz que as bolas são colocadas "ao acaso", mas não especifica a distribuição aleatória ou o processo pelo qual essas bolas são colocadas. A resposta definitivamente depende dessa informação. Por exemplo:
- Se alguém listar todas as 45 maneiras pelas quais as bolas podem terminar e, em seguida, escolher uma dessas 45 maneiras uniformemente aleatórias, a resposta será$2/15$como você disse.
- Se, independentemente , cada bola for colocada em um dos três sacos uniformemente ao acaso, então a resposta é$1792/6561$como disse a resposta do Quora.
Estas não são as duas únicas possibilidades. Se alguém joga uma moeda e coloca todas as bolas no primeiro saco se a moeda der cara e coloca todas as moedas no segundo saco se a moeda der coroa, isso ainda está colocando as bolas "ao acaso", mas a resposta para a pergunta seria$0$.
Sempre precisamos especificar uma distribuição de probabilidade. Se pretendemos que as bolas sejam colocadas nos sacos de maneira uniforme e independente, devemos dizer isso (mesmo que esse seja o meu melhor palpite quanto às intenções do escritor).