Qual é a relação entre o primeiro teorema de HK e o segundo teorema de HK?

Question

O primeiro teorema de Hohenberg-Kohn (HK) : O potencial externo$v(\vec{r})$é determinado, dentro de uma constante aditiva trivial, pela densidade eletrônica do estado fundamental$\rho(\vec{r})$.

Da mecânica quântica básica, sabemos que:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. De acordo com o primeiro teorema de HK, podemos saber ainda que$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. Em essência, o primeiro teorema de HK prova o mapeamento um-para-um entre os potenciais externos e as densidades do estado fundamental$\rho$em sistemas de muitos elétrons.

O segundo teorema de HK : Existe um funcional universal da densidade,$F_{HK}[\rho']$, tal que para qualquer$N$-densidade representável ($\textit{i.e.}$, qualquer densidade que vem de alguma função de onda para um$N$-sistema eletrônico)$\rho(\vec{r})$, que produz um determinado número de elétrons$N$, o funcional da energia é,$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$no qual$E_g$é a energia do estado fundamental e a igualdade vale quando a densidade$\rho'(\vec{r})$é a densidade do estado fundamental, possivelmente degenerada$\rho_0'(\vec{r})$para o potencial externo$v(\vec{r})$.

Das duas afirmações, não consigo ver nenhuma conexão entre os dois teoremas. Então, qual é a relação entre os dois teoremas? Se$F_{HK}(\rho')$é o funcional da densidade do estado fundamental, posso construir uma conexão entre os dois teoremas. Mas a densidade em$F_{HK}[\rho]$não é necessária densidade do estado fundamental.

• Sobre o primeiro teorema de HK:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
• Sobre o segundo teorema de HK:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Answer 1

Usando sua notação, a definição para o funcional universal é

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

Onde$\hat{T}$e$\hat{W}$são operadores de interação cinética e elétron-elétron, respectivamente. Esta definição é possível por causa do mapeamento um-para-um entre densidades e suas funções de onda de estado fundamental correspondentes (ou seja, porque$\psi_0$é um funcional de$\rho$), que acredito ser a conexão que você está procurando.

Answer 2

Uma conexão formal é que o primeiro teorema é usado na prova do segundo. Com efeito, o segundo é uma tradução do princípio de que$E[\Psi']$tem um mínimo na função de onda do estado fundamental correta$\Psi$, usando a correspondência um-para-um$\rho \leftrightarrow \Psi$conhecido do primeiro teorema.

A derivação pode ser encontrada no artigo original de Kohn e Hohenberg (parte I-2.). É bem curtinho e fácil de ler, então vale a pena dar uma olhada.