Qual é o significado de volume do sistema dinâmico
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemexplica que o volume do espaço de estado ou espaço de fase é invariante. A nota de aula intitulada "11 atratores estranhos e Lyapunov escurecem." retirado do livro de Strogatz mostra na eq (2) uma transformação coordenada do volume. Quero entender se a prova mostrada na nota significa que o volume dos sistemas com atrator estranho é invariante sob algum tipo de transformação, como a transformação de coordenadas. Por transformação de coordenadas, podemos gerar a reconstrução do espaço de fase e, usando isso, podemos obter um atrator estranho . Após a escolha adequada da configuração de parâmetros para o sistema dinâmico caótico, podemos ver o estranho. Mas não consigo entender a prova.
Pergunta: Alguém pode mostrar como provar que o volume para sistemas com atratores estranhos é invariante à transformação e o que isso significa.
O volume de atratores estranhos diminui ou expande?
ATUALIZAÇÃO: 18 de agosto
Com base na discussão nos comentários, isso é o que pude escrever de tudo o que pude entender. Agradecerá a ajuda para terminar a redação da prova de forma elegante.
Prova: o volume do atrator estranho mostrado por sistemas em dinâmica caótica é invariante sob alguma transformação e é uma medida ou uma métrica.
Minha ideia é que, vamos $n_a$ seja a dimensão do atrator e $d$ ser a dimensão de incorporação e o atrator tem um volume $v$ com uma dimensão de atrator $n_a$. Se séries temporais de valor escalar estiverem disponíveis, podemos reconstruir o atrator em$d$ espaço de fase dimensional pelo método de incorporação de retardo de Takens, $d \ge 2n+1$ Onde $n$é a dimensão do sistema observado. Não temos conhecimento do valor real de$n_a$. Desde, para o volume de sistemas dissipativos$v \le 0$, se e apenas se $n \le n_a$, e é igual a zero, pois sua dimensão é menor que $n_a$. Portanto, qualquer sistema dissipativo preserva o volume do atrator, que é zero. Quanto à mudança de coordenadas, uma vez que o atrator é um conjunto de medida zero, a imagem do atrator sob qualquer mapa suave também será a medida zero.
Agora, como posso provar que o atrator é uma medida definida como zero e é uma métrica como a medida de Lebesgue? Alguém pode ajudar a escrever formalmente esta prova? Obrigado.
Respostas
Quando eles dizem volume, eles realmente querem dizer 'medida'. Uma medida em um espaço$X$ é uma função $\mu$ que atribui comprimentos (ou áreas, ou volumes, ou probabilidades - o espaço específico $X$ ou o contexto geralmente dita como você pensa sobre o que a medida é, bem, medir) para assuntos "legais" de $X,$ onde "bom" significa de antemão que alguém selecionou alguns subconjuntos de $X$que podemos medir. Esses são chamados de conjuntos mensuráveis.
Um mapa $T : X\rightarrow X$ é dito ser $\mu$-invariante se (a) sempre $S$ é mensurável, então é $T^{-1}(S)$, e B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ sempre que $S$ é mensurável.
Quanto a como verificar, isso depende muito dos detalhes. Um truque extremamente comum e útil é que você não precisa verificar se as condições (a) ou (b) são válidas para cada subconjunto mensurável - se você verificar (a) e (b) em uma família de conjuntos que 'gera' a coleção de conjuntos mensuráveis, então você pode concluir que ela se mantém em todos os lugares. Por exemplo, se o seu espaço era$X = [0, 1]$ com a usual "medida de Lebesgue" atribuindo um subconjunto de $X$ é o comprimento, seria suficiente verificar se $T$ preserva medidas de intervalos.
Algumas coisas:
- Observe a nota na equação 2:
Os sistemas dissipativos têm atratores, enquanto os sistemas de conservação de volume não podem ter atratores nem repelentes.
Isso é verdade no sentido em que "volume" significa a medida de Lebesgue, ou seja, a definição normal de volume em $\mathbb{R}^n$. Os atratores são necessariamente de uma dimensão inferior do que o próprio espaço de fase, então seu volume (no sentido de Lebesgue) deve ser 0; por exemplo, o volume de uma superfície em$\mathbb{R}^3$é 0, pois a superfície é bidimensional. Talvez essa preservação de volume seja trivial porque o atrator necessariamente tem volume Lebesgue zero.
Portanto, isso parece responder à sua pergunta. No entanto, a dinâmica em atratores estranhos é tipicamente ergódica , que é a seção que você está lendo no primeiro artigo da Wikipedia. A dinâmica ergódica normalmente tem algo chamado de medida invariante , o que significa que há alguma noção de volume (a medida) que é preservada pela dinâmica (invariante). Portanto, se alguém pode parametrizar o atrator, ou seja, encontrar uma mudança de coordenadas de$\mathbb{R}^n$ para o atrator, então o "volume" no sentido da medida invariável do atrator e a dinâmica serão de fato preservados.