Qual é o significado desse homomorfismo coboundary para hipercohomologia de grupo?

Jan 11 2021

$\require{AMScd}$ Deixar $\Gamma=\{1,\gamma\}$ ser um grupo de ordem 2. No meu problema de cohomologia de grupos redutivos reais de Galois, cheguei a um diagrama comutativo de $\Gamma$-módulos (grupos abelianos com $\Gamma$-action) \ begin {equation *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {equation *} em que as linhas são exatas, mas não as colunas (e$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$) As linhas superior e inferior do diagrama dividem-se canonicamente:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ e essas divisões são compatíveis: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ para $q_3\in Q_3$. Eu considero os grupos de hipercohomologia da Tate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ onde ambos os complexos curtos estão em graus $(-1,0)$.

Abaixo, construo "à mão" um homomorfismo coboundary canônico $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

Pergunta. Como posso obter esse homomorfismo coboundary de um tipo de teoria geral?

Observação. Para um grupo$\Gamma$de ordem 2 (e também para qualquer grupo cíclico$\Gamma$) a cohomologia e hipercohomologia Tate são periódicas com o período 2. Portanto, nosso $\delta$ é um mapa $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ onde ambos os complexos estão em graus $(-2,-1,0)$.

Construção. Começamos com$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Aqui$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, isto é, \ begin {equation} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0,8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0,8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {equation} Nós levantamos canonicamente $ q_3$ para $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ e nós levantamos $ x_3$para alguns $ x_2\in X _2$. Nós escrevemos$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ Onde $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ e $ p_1\in P_1$. Montamos$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Desde por $(*)$ temos $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ nós vemos que $ x_1\in X _1$. Calculamos:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ de $(**)$. Além disso,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} de $(*)$ e $(**)$. Desse modo$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Nós vemos que $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Montamos$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Uma verificação direta mostra que o mapa $\delta$ é um homomorfismo bem definido.

Respostas

3 მამუკაჯიბლაძე Jan 12 2021 at 00:27

Acredito que a maneira mais fácil de lidar com isso é com o formalismo de categorias trianguladas. Você pode fazer isso de várias maneiras: trabalhar com a categoria derivada ilimitada ou (provavelmente mais fácil) substituir cada módulo$M$ com $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ Onde $\mathcal R$ é a resolução completa para $\Gamma$, ou seja, o complexo 2-periódico ilimitado padrão $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$de $\Gamma$-módulos.

Vamos então $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ seja um triângulo exato em uma categoria triangulada arbitrária, e deixe $Q_3\to X_2\to P_1$ser morfismos arbitrários com zero composto. Deixar$P$ seja a fibra de $X_1\to P_1$ e deixar $Q$ seja o cofiber de $Q_3\to X_3$. Nosso objetivo é construir a partir de tudo isso um mapa canônico$Q\to\Sigma P$. Acontece que existe um mapa que é, além disso, um isomorfismo se e somente se$Q_3\to X_2\to P_1$ é exato.

Já que o composto $Q_3\to X_2\to P_1$ é zero, o mapa $X_2\to P_1$ fatores por meio de cofibra de $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$, e o mapa $Q_3\to X_2$ fatores através da fibra $P_0\to X_2$ de $X_2\to P_1$. Portanto, tudo em tudo$X_1\to P_1$ fatores no composto $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, enquanto $Q_3\to X_3$ fatores no composto $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

Em primeiro lugar, observe que, nessas circunstâncias, o cofiber da $Q_3\to P_0$ é isomórfico à fibra de $Q_0\to P_1$; denotando-o por$H$, o composto $P_0\to H\to Q_0$ é o composto $P_0\to X_2\to Q_0$.

Obtemos oito instâncias do axioma do octaedro, dizendo-nos que, para vários compostos $f\circ g$ existem triângulos exatos $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ e $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Estritamente falando, nem todos eles são necessários, mas para completar, deixe-me listar todos eles.

O par composable dá o triângulo exato
$Q_3\to P_0\to X_2$ $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$ $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$ $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$ $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$ $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$ $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

Para colocar tudo em um único diagrama - no que segue, as linhas com três objetos representam triângulos exatos; tudo comuta.