Quando é possível usar a identidade Parseval-Plancherel para resolver uma integral?

Aug 16 2020

O integral é da forma $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Onde a transformada de Fourier do$\sigma$ função é $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ e a função $\mu(x)$ É dado por $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

A transformada de Fourier de $\mu(x)$ pode ser encontrado facilmente $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

A questão é:

É possível usar a identidade Parseval-Plancherel e escrever o integral acima como $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?

Nesse caso, a integral acima torna-se $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

Que se parece com uma transformação de Fourier de $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$função. Como essa transformada de Fourier é calculada?

Respostas

2 PradipKattel Aug 17 2020 at 08:41

Lembre-se da identidade da transformação de Fourier $K(x)=\text{sech}(x)$ é $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

Usando essa identidade, a transformada de Fourier de $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ pode ser facilmente calculado

\ begin {equation} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {ident} \ end {equation}

Usando a equação desta relação, o dado integral pode ser facilmente integrado

\ begin {equation} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right) ) \ label {rest} \ end {equation}

Verificar a resposta numericamente. Plot: Constante a Plot Constante c