Quantização de fluxo no QED 3D compacto de Polyakov
Em seu livro "Gauge Fields and Strings", Polyakov apresenta o QED compacto em uma rede cúbica no espaço euclidiano 3D como: $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
Onde $F$ é o fluxo líquido através da plaqueta que é medido pelos vetores da rede $\mathbf{\alpha}$ e $\beta$ no ponto $\mathbf{r}$ e é dado por: $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ Que intuitivamente é a curva de $A$em torno da plaqueta. A transformação do medidor é definida como:$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$Sob o qual a ação é invariável. Um resultado óbvio é que o fluxo total através de qualquer superfície gaussiana fechada é zero. Isso é verdade porque:$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$Como cada campo de medidor em cada link aparece duas vezes com sinais diferentes na soma acima. Portanto, é impossível ter monopólos neste sistema, exceto para monopólos de Dirac que podem ser construídos assumindo que o fluxo através de 5 faces de um cubo tem o mesmo sinal, enquanto uma face tem um fluxo líquido com sinal negativo de modo que o fluxo total permanece zero .
Mas então, ele (Polyakov) afirma que esse fluxo (que só passa por uma das faces de um cubo) é quantizado. Não sei como provar isso. Parece que uma transformação de calibre singular é necessária (de acordo com um artigo de 't Hooft) e precisamos acoplar o campo de calibre a outro campo (provavelmente matéria), mas não consigo encontrar uma maneira de implementar essa transformação no modelo de rede e até mesmo alguém pode perguntar por que devemos acoplar$A$para outro grau de liberdade. Este ponto também é mencionado aqui:https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 novamente sem qualquer prova.
O livro usa outra ação que se afirma ser equivalente à ação original, que é dada por: $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ Onde $n$é um campo com valor inteiro. Esta ação em geral não é equivalente à ação original. porque aqui estamos permitindo desvios da não periodicidade de$A$ para contribuir e, portanto, só podemos usá-lo em pequenas $g$ limite.
Respostas
Bem, a respeito da questão, ela deve seguir da versão discreta do teorema de Stokes. Considere um cubo, no caso de um fluxo diferente de zero, perfurando o cubo, não se pode atribuir globalmente o potencial de medidor$A_\mu$, apenas localmente, em um determinado gráfico. Vamos dividir o cubo em dois gráficos, sobrepondo-se pelo menos no equador
O hemisfério norte e sul. De acordo com o teorema de Stokes, o fluxo através da superfície vermelha pálida é igual à circulação de$A_\mu$ em torno do equador: $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ Onde $s$ - denota todas as superfícies no gráfico, e $l$ - os segmentos de linha no equador, e $S_i$ - área da superfície, $l_i$- comprimento do segmento. Na integral sobre o equador, pode-se escolher no teorema de Stokes para integrar sobre$U_N$ e $U_S$, e o resultado, do ponto de vista físico, não deve depender da escolha da superfície.
A parte eletromagnética da ação para a partícula pontual é: $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ A ação para a partícula pontual entra na integral do caminho como $e^{i S}$ Portanto, para que o $e^{i S}$ para ser de valor único, os fluxos sobre o hemisfério norte e sul devem satisfazer as seguintes condições: $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
Essa lógica carece de rigor, mas pode fornecer alguma intuição. Outro ponto, que se pode notar, que os monopólos são as soluções clássicas - mínimos do funcional da ação, e da ação, pode-se perceber que:$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ Portanto, a soma de todas as faces será quantizada.
A ação, que você escreveu no final de sua postagem, é uma aproximação de Vilão ou Gaussiana da ação original, que assume que as flutuações do campo de medida estão próximas dos mínimos$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$, e é obtido pela expansão do cosseno para a segunda ordem: $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$