Quantos números de quatro algarismos existem que não contenham zero e a multiplicação de seus algarismos divisíveis por 7?

Question

Eu vi uma pergunta no meu livro de matemática, parece muito trivial, diz que:

Quantos números de quatro algarismos existem que não contenham zero e a multiplicação de seus algarismos divisíveis por 7?

Eu pensei sobre:

(todos os números de quatro dígitos não contendo zero) menos (todos os números de quatro dígitos não contendo 7 e 0)

para encontrar todos os números de quatro dígitos que não contenham zero e a multiplicação de seus quatro dígitos divisíveis por 7.

Então$(9^4)-(8^4)=2465$. No entanto a resposta é$4904$. o que estou perdendo?

Answer 1

Sua primeira resposta está certa em relação à afirmação que você deu, de fato:

Deixar$(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. Então$A = 1000a+100b+10c+d $é um número de quatro dígitos.

Além disso,$a\cdot b \cdot c \cdot d $é divisível por$7$, se e somente se, sua fatoração primária contém pelo menos um tempo$7$então, se e somente se, pelo menos um dos$A$o dígito é igual a$7$. Daí a resposta é$9^4-8^4 = 2465$como você disse.

No entanto , se você estiver procurando o número de números de quatro dígitos de modo que o produto de seus dígitos seja divisível por$7$a resposta é$4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Você pode verificar que: para um número de quatro dígitos$A$ter o produto de seus algarismos divisível por$7$, deve conter$0$ou$7$.

Deixar$A = 1000a+100b+10c+d$Onde$0\leq a,b,c,d \leq 9$são inteiros e$a \neq0$.

Se$a=7$então você pode ter todas as combinações possíveis para$b,c$e$d$. Assim, dá-lhe$10^3$escolhas.

Se$a \neq 7$, então você está procurando o número$n$de possibilidades de ter pelo menos$b,c$ou$d$igual a$0$ou$7$. Além disso, você tem exatamente$8^3$possibilidades para$b$,$c$e$d$não ser igual a$0$nem$7$. Por isso$n = 10^3-8^3$. Finalmente, existem apenas$8$possibilidades para$a$ser diferente de$7$.

Portanto, o número que você está procurando é$8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.