Questão Básica de Homotopia
Estou começando a ler o livro "Rational Homotopy Theory" de Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C. Thomas e eu temos uma pergunta rápida sobre o início (que diz respeito apenas à teoria básica da homotopia nos espaços e nem mesmo à teoria da homotopia racional). O livro prova um resultado conhecido como "Lema de Elevação de Whitehead" como Lema 1.5 (p. 12):
Suponha que dado um diagrama (não necessariamente comutativo): \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} junto com a com homotopia$H: A \times I \rightarrow Z$ a partir de $\psi i$ para $f\varphi$.
Presumir $(X,A)$ é um complexo CW relativo e $f$é uma equivalência de homotopia fraca. Então$\varphi$ e $H$ pode ser estendido respectivamente para um mapa $\Phi: X \rightarrow Y$ e uma homotopia $K: X \times I: \rightarrow Z$ a partir de $\psi$ para $f \Phi$.
Em seguida, o livro continua com alguns corolários, e minha pergunta é: Como a seguinte afirmação é um corolário do Lema de Elevação de Whitehead?
Se $(X, A)$ é um complexo CW relativo e $A$ tem o tipo de homotopia de um complexo CW, então $X$ tem o tipo de homotopia de um complexo CW.
Acho que poderia provar esse resultado construindo um complexo CW $\tilde{X}$ a partir de $\tilde{A}$ (um complexo equivalente a $A$) colando células usando os mapas anexados de $(X, A)$, e usando um resultado de preservação de equivalências em pushouts (como este, Equivalências de homotopia em quadrado de pushout com cofibration ) em cada esqueleto, mas não vejo como isso usa o Lema acima, e o resultado que eu precisaria sobre pushouts e equivalências aparece mais tarde no livro, eu acho.
Qualquer ideia é bem-vinda, felicidades!
Respostas
Deixar $A$ ser um complexo CW e $X$ obtido de $A$ligando indutivamente as células. Escreva$i:A\hookrightarrow X$ para a inclusão.
Para começar vamos $p:\widetilde X\rightarrow X$ser uma aproximação CW (também conhecido como modelo celular, ver Th.1.4). Desde a$A$ é um complexo CW a equivalência fraca $p$ induz uma bijeção $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(ver Co.1.6). Portanto, há um mapa$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ junto com uma homotopia $H:p\widetilde i\simeq i$. Agora considere o diagrama \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} As suposições do Lema 1.5 são satisfeitas, então há um mapa$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ de tal modo que $\varphi i=\widetilde i$ e $p\varphi\simeq id_X$. Desse modo$X$ é uma retração (homotopia) do complexo CW $\widetilde X$, e segue-se imediatamente disso que $X$ tem o tipo de homotopia CW.
Agora, o último fato é verdadeiro na generalidade declarada, mas estabeleceremos uma afirmação mais precisa para a situação atual: mostraremos que $X$ é homotopia equivalente a $\widetilde X$ como esperado.
Por este aviso que $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ leva $\varphi p$ para $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Mas porque$p$ é uma equivalência fraca o mapa induzido é bijetivo, então a equação $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ implica que $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Portanto, temos a reivindicação.