Questão em Milnor&Stacheff - Classes Características, Construção de Classes Chern

Aug 16 2020

O seguinte parágrafo foi extraído do livro:

Daremos agora uma definição indutiva de classes de características para um complexo$n$pacote de planos$\omega=(\pi: E\to M)$. Se primeiro é necessário construir um canônico$(n-1)$pacote de planos$\omega_0$sobre o espaço total excluído$E_0$. ($E_0$denota o conjunto de todos os vetores diferentes de zero em$E$.) Um ponto em$E_0$é especificado por uma fibra$F$do$\omega$juntamente com um vetor diferente de zero$v$nessa fibra. Primeiro, suponha que uma métrica hermitiana tenha sido especificada em$\omega$. Então a fibra de$\omega_0$é, por definição, o complemento ortogonal de$v$no espaço vetorial$F$. Este é um espaço vetorial complexo de dimensão$n-1$, e esses espaços vetoriais claramente podem ser considerados como as fibras de um novo fibrado vetorial$\omega_0$sobre$E_0$.

Pergunta: Eu entendi como o espaço total de$\omega_0$é definido. Mas como é definida a topologia do espaço total? Não há nenhuma menção sobre isso.

Respostas

1 ArcticChar Aug 16 2020 at 12:49

Considere os seguintes mapeamentos:

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi^*E @>>> E\\ @V \bar\pi VV @VV \pi V\\ E @>>\pi> M \end{CD}

que induz um bundle pullback$\bar \pi : \pi^*E \to E$, onde para cada$v\in E$,$$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$(ou seja, a fibra é apenas a fibra$F_x$, Onde$x = \pi(v)$).$\pi^*E$é dada a topologia do pacote pullback. Desde$E_0$é um subconjunto de$E$, a restrição dá um pacote

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

e o pacote$\omega_0$construído no livro é um subconjunto de (1). Além disso, tem a topologia de subespaço dada por (1).