Questão sobre desigualdades fracionárias

Aug 16 2020

$a,b$são inteiros positivos. Deixar$\frac{a}{b}$ser a fração com o menor denominador possível$b$de tal modo que$\frac{386}{2019}$<$\frac{a}{b}$<$\frac{35}{183}$. Determine o valor de$a+b$.


Eu tentei simplificar a desigualdade, mas estou preso. No entanto, eu sei que como$b$tem que ser menor, então$a$.

Alguma ideia de como devo fazer essa pergunta? Obrigado por qualquer ajuda.

Respostas

5 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 16:05

Talvez o seguinte ajude.

Nós temos$$386b+1\leq2019a$$e$$35b\geq183a+1.$$Podemos resolver a equação$35b=183a+1,$que dá$$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$Onde$k\geq0$é um número inteiro, que dá uma fração$\frac{13}{68}.$

Fácil de ver isso$\frac{13}{68}$não é válido.

Agora, podemos pegar$k=1$,$k=2$,...

Além disso, podemos resolver a equação$386b+1=2019a,$que dá$$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$Onde$k\geq0$é inteiro.

Fácil de ver isso$\frac{373}{1951}$é válido.

eu consegui no primeiro caso$k=1$é válido, o que dá$\frac{48}{251}.$

5 TonyK Aug 16 2020 at 16:18

A fração contínua de$386/2019$é$[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

A fração contínua de$35/183$é$[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

Portanto, a fração mais simples que se encontra estritamente entre esses números tem fração contínua$$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$