Referência solicitada para o teorema da teoria da homotopia

Question

Me deparei com este post: Grupos de homotopia de variedade topológica compacta que afirma exatamente o resultado que preciso para um teorema no qual estou trabalhando. No entanto, eu precisaria de uma referência, já que o público não precisa ser muito versado na teoria da homotopia.

Alguém poderia sugerir onde posso encontrar o resultado:

Teorema: Todo fechado, conectado suave$d$-múltiplo $M$ tem um mapa contínuo e não nulo-homotópico $f: S^{d'} \rightarrow M$ para alguma esfera $S^{d'}$ com $1 \leq d' \leq \dim(M)$.

Em outras palavras, se $M$ é um coletor suave fechado e conectado, então há um não trivial $\pi_{d'}(M)$ para alguns $d'\leq \dim(M)$.

Answer 1

Esta não é uma referência, mas uma breve prova:

se não, então com $d'=1$ nós vemos que $M$ teria que ser simplesmente conectado.

Em particular, se todos os grupos de homologia desaparecerem, então $M$é contraível. Mas a homologia agrupa em dimensão$> \dim(M)$ sempre desaparecem, e a hipótese implica (por Hurewicz) que a homologia agrupa em dimensão $\leq \dim(M)$ desapareça também.

Isso implica que $M$ é contraível, o que é impossível pela dualidade de Poincaré (qualquer um dos mod $2$, ou integralmente porque $M$ está simplesmente conectado)

Simplificando: $M$ é mod $2$-orientável, por isso deve ter um mod não trivial $2$-cohomologia, isso deve estar em dimensão $\leq \dim(M)$, mas a hipótese implica que não, pelo teorema de Hurewciz.