Regra de cadeia derivada covariante de ordem superior

Question

Deixei $(M,g)$ser uma variedade Riemanniana. Deixei$\nabla_v$ ser a derivada covariante no $v$ direção para todos $v\in T_xM$, e denotar com $\nabla^k h$ a $(k,0)$-campo sensor definido em coordenadas locais indutivamente por $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ para qualquer função suave $h$.

Minha pergunta é: existe uma maneira legal de expressar a diferença $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?

Para evitar confusão, estou considerando a expressão dada por $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$Isso se parece de alguma forma com o tensor de curvatura Riemanniano aplicado às formas. Tentei desenvolver a diferença, mas não consigo ver nada familiar. De forma mais geral (mas talvez eu esteja pedindo demais), há uma maneira legal de escrever$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$

Answer 1

Escreva $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, Onde $c^1_1$ é a contração, então

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}

Em particular, significa para todos $X, Y$e usando a identidade Ricci ,

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}

portanto

$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$

então, como esperado, os termos de curvatura aparecem. Também temos$\nabla u$. Em geral, ao calcular$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ você tem que diferenciar $u$ $k$-vezes e usar a identidade Ricci $k$-vezes. Acho que não haverá uma fórmula legal.