Regularização dimensional da auto-energia do elétron do livro de Ryder

Question

Estou estudando a auto-energia do elétron usando o livro de Ryder, na página 334 podemos ver

Definindo$k'=k-pz$e evitando o termo linear em$k'$(porque integra a zero) dá \begin{equação} \Sigma(p)=-ie^2\mu^{4-d}\int_0^1dz\gamma_\mu({\not} p-{\not} p z+m)\gamma^\mu\int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1 -z)]^2}.\label{r2.7}\end{equação} [...] Esta integral é realizada com a ajuda da equação (9A.5), dando \begin{equação} \Sigma(p )=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dz\gamma_ \mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}. \end{equação}

A equação 9A.5 é \begin{equação} \int\frac{d^dp}{(p^2+2pq-m^2)^{\alpha}}=(-1)^{d/2}\ imath\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(\alpha-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{[-q^ 2-m^2]^{\alpha-d/2}} .\tag{9A.5} \end{equation} Não entendo como ele aplicou essa integral (9A.5) para obter o resultado \begin {equação} \Sigma(p)=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2} }\int_0^1dz\gamma_\mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2 }. \end{equação} por favor me ajude a ter uma ideia.

Answer 1

É só aplicar o resultado (9A.5) à integral em$d^d k^\prime$. Na verdade, ligue$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$e colocar$q=0$na integral (9A.5)$$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

onde acabamos de mudar a variável de integração de$k^\prime$para$p$para tornar mais claro a partir do resultado 9A.5. Usando o fato de que$\Gamma(2) = 1$, usando a definição acima de$M^2$e simplificando um pouco você obtém$$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$onde usamos o fato de que$2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

Compare o segundo integrando na primeira equação com ty he em grande em 9A5. Você viu isso$\alpha \rightarrow 2$,$q \rightarrow 0$,$ -m^2 \rightarrow etc.$transformará um integrando no outro. Fazer as mesmas substituições no lado direito de 9A5 deve fornecer o resultado desejado.