Representações regulares de grupos de Galois

Question

Suponha$\mathcal{G}_k$é o grupo absoluto de Galois de um corpo numérico$k$.

$\mathcal{G}_k$é um grupo topológico, com topologia profinita. Como a teoria da análise harmônica de representações regulares de grupos localmente compactos se aplica a ela? Em quais espaços de função$\mathcal{G}_k$é significativo considerar; como fazer (esquerda ou direita) representações regulares de$\mathcal{G}_k$neles se decompõem em irredutíveis; quais irredutíveis ocorrem; e qual é o análogo da medida de Plancherel?

Answer 1

O grupo absoluto de Galois (de qualquer corpo) não é apenas localmente compacto, ele é compacto. Isso torna a análise harmônica completamente resolvida pela teoria de Peter-Well.

Em particular, a representação regular é a soma direta de Hilbert de cada representação irredutível, sendo que todas possuem dimensão finita, cada uma delas com multiplicidade igual à sua dimensão.