Restrições sob as quais$\rho(x, y) = |x - y|^d$satisfaz a desigualdade triangular

Question

É possível provar por meios puramente algébricos (sem recorrer imediatamente a contra-exemplos) que$\rho(x, y) = |x - y|^d$não satisfaz a desigualdade triangular$\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$por$d = 2$? E sob quais restrições$x, y, z$satisfaz a desigualdade? estou tentando ver porque$\rho$não pode ser uma métrica válida em$\mathbb R$.

Pergunta bônus: Para quais outros valores$d \in \mathbb R$faz$\rho$não satisfaz a desigualdade triangular.

Answer 1

A desigualdade é equivalente a$(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$por$a, b \geq 0$. colocando$a=b=1$nós vemos que$2^{d} \leq 2$. Por isso$d \leq 1$é uma condição necessária. Para qualquer$d \in (0,1]$a desigualdade é válida. Isso pode ser provado observando que$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$é função decrescente de$a$e desaparece quando$a=0$.

Quando$d<0$,$|x-y|^{d}$nem está definido quando$x=y$por isso não produz uma métrica.$d=0$é deixado para você.