Se as condições para um$C^1$-difeomorfismo para ter$L^1$ou$L^\infty$Jacobiano

Question

Deixar$\Delta,D$ser dois subconjuntos abertos de$\mathbb{R}^d$, e deixar$\varphi:\Delta \rightarrow D$ser um$C^1$-difeomorfismo com determinante jacobiano$J_{\varphi}.$

1. Prove que$\lambda_d(D)<+\infty$se e apenas se$J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

2. Prove que$J_\varphi$é limitado em$\Delta$se e apenas se$\exists c>0$tal que para todo aberto$\Omega \subset\Delta$,$\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

Para a parte 1, o resultado segue de$\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

Para a parte 2, se$J_\varphi$é limitado,$\exists c>0$tal que para todo aberto$\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

Como podemos provar a recíproca?

Answer 1

Lembre-se que para qualquer função contínua$f$definido na vizinhança de um ponto$x\in\mathbb R^d$,$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

Suponha que a função contínua$|J_\varphi|$era ilimitado. Então para cada$n\in\mathbb Z_{>0}$, existe$x_n\in \Delta$de tal modo que$|J_\varphi(x_n)|>2n$. Portanto, para suficientemente pequenos$r_n>0$,$$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$o que quer dizer$$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$então nada disso$c>0$pode existir.