Se$G=AB$é uma fatoração st$q\not\mid |A|$Onde$q$é primo, então para$g\in G,a\in A$, existe um único$x_1\in A$st$\alpha(gx_1^q)=a$.

Question

Deixar$G$Seja um grupo abeliano e$A,B$ser subconjuntos de$G$.
Suponha$AB$é uma fatoração de$G$, ou seja, cada$g\in G$pode ser escrito unicamente na forma$ab$Onde$a\in A$e$b\in B$. Aqui$a$é chamado de$A$-parte de$g$e denotado por$\alpha(g)$.
Deixar$q$seja um primo tal que$q\not\mid |A|$.

Escolha um$a\in A,g\in G$e definir$T$ser o conjunto de todos$q$tuplas$$(x_1,\dots,x_q) \text{ where } x_1,\dots,x_q\in A$$para qual$$\alpha(gx_1\dots x_q)=a.$$Usando o fato de que$|T|=|A|^{q-1}$e ação de grupo (permutação cíclica), pode-se mostrar que existe uma$x_1\in A$de tal modo que$\alpha(gx_1^q)=a$. O que eu quero mostrar aqui é que$x_1$é determinada exclusivamente por$a$e$g$.

Deixar$x_1,x_2\in A$de tal modo que$\alpha(gx_1^q)=a=\alpha(gx_2^q)$. eu quero mostrar isso$x_1=x_2$. existe$b_1,b_2\in B$de tal modo que$gx_1^q=ab_1$e$gx_2^q=ab_2$. Então eu pego$(x_1x_2^{-1})^q=b_1b_2^{-1}$. Preciso de alguma ideia ou dica para completar a prova.

Answer 1

Conforme explicado no meu comentário, se$A$é finito, então o princípio da casa dos pombos junto com sua prova elegante (+1) de que o mapa$A\to A$enviando$x\mapsto \alpha(gx^q)$é sobrejetivo, implica que também é injetivo.

Por outro lado se$A$é infinito, temos o seguinte contra-exemplo:

Deixar$G=\mathbb{Z}$e$$A=\{6n,6n+1,6n+2| n\in \mathbb{Z}\},\qquad B=\{0,3\}$$Deixar$q=3$(estou ignorando a condição$q\not\!||A|$quando$A$infinito, pois não está claro o que isso significa).

então o mapa$x\mapsto \alpha(0+3x)$não é injetivo nem sobrejetivo: \begin{eqnarray}0&\mapsto&0,\\1&\mapsto&0,\end{eqnarray} e$3x\neq1,4 \implies \alpha(0+3x)\neq 1$.