Se$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Então calcule$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Aqui$i=\sqrt{-1}$

Aug 16 2020

PERGUNTA: Se$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$,$\text{ }$então calcule$$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$Aqui$i=\sqrt{-1}$.


MINHA RESPOSTA: Fiz isso usando a fórmula quadrática e o teorema de De Moivre. Deixe-me escrever meu trabalho antes de propor minha dúvida .. Veja como eu fiz isso ..

Resolvendo a equação obtemos$$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$Leva$x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$

Agora sabemos que$2187=(273\times8)+3$

$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$

$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$

Agora, minha primeira pergunta é que a relação quadrática nos deu dois valores diferentes para$x$. Um com o qual trabalhei para chegar à resposta de$\sqrt {2}i$e o outro,$\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$que eu havia deixado para trás. Agora, trabalhando com isso, descubro que o ângulo acaba sendo$\frac{\pi}{10}$e as coisas se tornam muito mais complicadas depois disso. A resposta oficial para esta é$\sqrt{2}i$(que combina com o que descobri).

Minha dúvida é por que não consideramos o outro valor de$x$?

E existe algum método alternativo (de preferência mais simples) para resolver este?

Muito obrigado por sua ajuda e apoio .. :)

Respostas

7 AnginaSeng Aug 16 2020 at 21:24

$2187=3^7$. Esta é uma pista. Poderes de$3$são significativos. Agora$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$e$$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$Então$$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$Repetindo isso,$$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$etc. Eventualmente,$$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$

VIVID Aug 16 2020 at 21:27

De fato, é fácil verificar que ambos os valores de$x$dar o mesmo resultado. Para todo o problema, você só precisa da fórmula de De Moivre duas vezes (duas linhas de papel sem explicação).

Por$x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, você mostrou que a resposta é$i\sqrt 2$.

Agora deixe$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Usando a fórmula de De Moivre e o fato de que$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$você consegue$$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$Feito!