Se$\widehat{M}$é grátis$\widehat{R}$-módulo de classificação$n$então$M$tem um conjunto gerador de$n$elementos como um$R$-módulo.

Question

Com referência à minha última pergunta Se$\widehat{M}$é grátis$\widehat{R}$-módulo, então$M$é grátis$R$-módulo,$R$é um anel Zariski. Eu quero fazer a seguinte pergunta.

Deixar$R$ser um anel Zariski com$I$- topologia ádica,$I \subset J(R)$. Deixar$M$ser um finitamente gerado$R$-módulo tal que o$I$conclusão -ádica$\widehat{M}$é grátis$\widehat{R}$-módulo de classificação$n$. Então como posso mostrar isso$M$tem um conjunto gerador de$n$elementos como um$R$-módulo.

Eu preciso de ajuda.

Answer 1

Considerar$n$geradores de$\widehat M$,$x_1,...,x_n$.

Deixar$y_1,...,y_n$denotar sua imagem em$M/IM$. Então,$y_1,...,y_n$gerar$M/IM$.

De fato,$\widehat M\to M/IM$é sobrejetivo ($M\to \widehat M\to M/IM$é sobrejetiva), então se$z\in M/IM$, deixar$w$seja qualquer antecedente,$w= \sum_i \lambda_i x_i$implica que$z =\sum_i \mu_i y_i$, com$\mu_i$a imagem de$\lambda_i$debaixo$\widehat R\to R/I$.

Mas agora desde$I\subset J(R)$, o lema de Nakayama diz que quaisquer antecedentes de$y_1,...,y_n$gerar$M$(aqui, use a suposição de que$M$é finitamente gerado)