Sempre existe uma função $ f $ para qual $ Y - f ( X ) $ e $ X $ são independentes?
Deixei $ X $ e $ Y $ ser variáveis aleatórias reais.
Sempre existe uma função $ f $ para qual $ Y - f ( X ) $ e $ X $ são independentes?
Tentei provar a afirmação, mas não consegui.
Se a afirmação for falsa, deve haver variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ de modo que para qualquer função $ f $, $ Y - f ( X ) $ e $ X $não são independentes.
Mas também não consegui encontrar esse par de variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $.
Eu apreciaria qualquer conselho ou dica!
Respostas
Não, mas existe um $f(X)$ de forma que eles não estão correlacionados.
Duas variáveis $X$ e $Y$ são independentes se a distribuição de probabilidade de $Y|X$ não depende de $X$. Considerar$Y|X \sim N(0, X^{2})$, então $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ que ainda depende de $X$ para qualquer função $f$.
Se definirmos $E[f(X)]$ de modo a $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, então $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Por exemplo, deixe$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ ser linear.
Deixei $\Omega = \{a,b,c\}$ ser um espaço de probabilidade com três resultados, cada um com probabilidade $1/3$. Deixei$X = 1_{\{a\}}$ e $Y = 1_{\{b\}}$. Você pode verificar se$A,B$são eventos independentes neste espaço, então um deles deve ter probabilidade 0 ou 1; como resultado, qualquer variável aleatória independente de$X$deve ser constante. Mas$Y-f(X)$ nunca pode ser constante, pois necessariamente terá valores diferentes em $b$ e $c$.