Seqüência de epimorfismos de grupos residualmente finitos estabiliza
Deixar $G_1 \to G_2 \to \cdots$ser uma sequência de epimorfismos de grupos residualmente finitos finitamente gerados. Ele eventualmente se estabiliza? Isto é, todos, exceto um número finito de epimorfismos, são realmente isomorfismos?
Observe que os grupos residualmente finitos finitamente gerados são Hopfianos, então isso exclui o contra-exemplo simples de cada $G_i$ sendo um grupo fixo e cada epimorfismo sendo um grupo fixo sobre si mesmo.
O resultado análogo é válido quando os grupos são residualmente livres: esta é a Proposição 6.8 em Charpentier Guirardel "Grupos de limite como limites de grupos livres" . A prova usa apenas o fato de que grupos residualmente livres são residualmente$SL_2(\mathbb{C})$, e parece que pode ser adaptado ao caso em que cada $G_i$ é residualmente $GL_n(\mathbb{C})$ para um fixo $n$. Parece improvável que isso seja válido para grupos residentemente finitos gerais: o Teorema de Jordan-Schur implica que para um grupo finito geral o grau mínimo$n$ de modo que se integre em $GL_n(\mathbb{C})$ pode ser arbitrariamente grande.
Existe outra maneira de adaptar a prova? Existe um contra-exemplo?
Respostas
A resposta é não". O grupo do acendedor (que é infinitamente apresentado) é um limite de uma sequência de grupos virtualmente livres e homomorfismos sobrejetivos (veja, por exemplo, esta questão e as respostas lá ). Todos os grupos virtualmente livres são residualmente finitos.
Na mesma linha da resposta de dodd, um contra-exemplo também pode ser deduzido do segundo grupo de Houghton $H_2$, que é definido como o grupo de bijeções $L^{(0)} \to L^{(0)}$ que preserva adjacência e não adjacência para todos, exceto pares finitos de vértices na linha bi-infinita $L$. Uma apresentação de$H_2$ é $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ Onde $t$ corresponde a uma tradução unitária e $\sigma_i$ para a permutação $(i,i+1)$. Agora, trunque a apresentação e defina$G_n$ através da $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Usando as relações $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ a fim de remover os geradores $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ e $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, encontramos a seguinte apresentação de $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Observe nesta apresentação que $G_n$ decompõe-se como uma extensão HNN de $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ que acaba sendo isomórfico ao grupo simétrico $\mathfrak{S}_{n+2}$, onde a letra estável se conjuga $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ para $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Assim, como a extensão HNN de um grupo finito,$G_n$ deve ser virtualmente gratuito.
A conclusão é que os mapas quocientes canônicos $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ define uma sequência de epimorfismos entre grupos virtualmente livres que não se estabilizam.
Observação: Ao reproduzir o argumento acima quase palavra por palavra com o grupo de acendedores de lâmpadas$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ em vez do grupo Houghton $H_2$fornece a mesma conclusão. A razão é que esses grupos têm uma estrutura semelhante: eles são da forma$C \rtimes \mathbb{Z}$ para algum grupo Coxeter localmente finito $C$ Onde $\mathbb{Z}$ age em $C$ por meio de uma isometria do gráfico que define $C$. (Falando livremente, todos os outros grupos desta forma podem ser recuperados de$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ e $H_2$, portanto, não há outros exemplos interessantes nesta direção.)