Sistema multiplicativo de um anel e de uma categoria
Se A for qualquer categoria, uma classe de morfismos$S$em A é dito ser um sistema multiplicativo se$(a)$ é fechado por composição, ou seja: $id_X$ é em $S$ para cada $X$em A e sempre que$f$ e $g$são morfismos em A tais que a composição$gf$ faz sentido então $gf$ é em $S$; $(b)$ qualquer diagrama do formulário $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ com $s$ dentro $S$ pode ser completado como $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} com$t$ dentro $S$. O mesmo também com todas as setas invertidas. Eventualmente$(c)$ para um par de morfismos $f,g:X\to Y$ existe $s$ dentro $S$ com $sf=sg$ se e somente se existe $t$ dentro $S$ com $ft=gt$.
Minha pergunta é: esta definição coincide com a noção de conjunto multiplicativamente fechado para qualquer anel$R$ se olharmos para $R$como uma categoria Ab com apenas um objeto? Com certeza condição$(a)$ fornece exatamente o que desejamos para um conjunto multiplicativamente fechado (que é um subconjunto $S\subseteq R$ de tal modo que $1\in S$ e $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), e se $R$ é comutativo, $(b)$ e $(c)$ tornam-se óbvios, mas no caso de um anel não comutativo não consigo encontrar uma prova dessas condições.
Alguém poderia fornecer uma prova ou um contra-exemplo? Se um contra-exemplo for a resposta, há alguma razão profunda para que ele funcione apenas no caso comutativo, ou é a noção de sistema multiplicativo projetado apenas para generalizar esses casos?
Respostas
Sim, coincide, mas trivialmente (no caso comutativo).
Veja o seu anel (unital comutativo) $R$como uma categoria da seguinte forma. o$R$-módulo de ação de $R$ em si mesmo induz um morfismo $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, então podemos considerar a categoria com um objeto (a saber $R$) e o conjunto de morfismos é $\iota(R)$. O fato de que isso forma um$\mathbf{Ab}$-categoria faz parte dos axiomas de um anel. Você precisa que o anel seja unital para que o morfismo de identidade esteja presente, e a comutatividade fornece os outros axiomas. Por exemplo, se você receber$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} basicamente dois elementos do anel original$R$. O diagrama pode ser facilmente concluído assumindo que$R$ é comutativo desde $sf = fs$ leva ao diagrama comutativo $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} A declaração (c) é comprovada de forma semelhante tomando$t=s$. Eu não sei como localizar anéis não comutativos em subconjuntos$S$ em geral, mas aposto que, se essas ideias fizerem sentido, a localização $S^{-1}R$ existiria quando $R$é não comutativo no caso específico em que esses axiomas categóricos são satisfeitos, mas não em geral. Eu li isso para saber um pouco sobre localização não comutativa, e não parece tão inspirador quanto a contraparte comutativa.
Espero que ajude,