sobre variedade topológica

Question

Um teorema fundamental em Topologia afirma que se $U \subset \mathbb{R}^{n}$ e $V \subset \mathbb{R}^{m}$ são homeomórficos, então $m=n$.

(i) - para a forma acima, tente escrever uma descrição em termos de espaços topológicos familiares.

(ii) - Prove que uma esfera com um cabelo (forma acima), não é uma variedade topológica.

para (ii) temos: Um coletor conectado tem uma dimensão única $n$, e cada ponto de $X$ então tem uma vizinhança aberta homeomórfica para a bola unitária aberta $\mathbb D^n\subset \mathbb R^n$.

No entanto na foto $X$ os pontos diferentes de $q$ no cabelo tem uma vizinhança aberta homeomórfica para $\mathbb D^1$ , enquanto os pontos são diferentes de $q$ na esfera tem uma vizinhança aberta homeomórfica para $\mathbb D^2$.

Desde a $X$ está conectado, isso prova que não é uma variedade, uma vez que não pode ter uma dimensão única. A forma tão acima não é uma variedade topológica.

como podemos responder a primeira pergunta? também sabemos que a forma acima é homeomórfica à esfera e a esfera é variedade topológica, mas a forma acima não é uma variedade topológica. Portanto, encontramos dois espaços homeomórficos, de modo que um deles não é uma variedade topológica e o outro é uma variedade topológica. isso é verdade ?

Answer 1

Ligue para o espaço $X$. Você pode escrever o espaço como uma colagem de uma esfera$\mathbb{S}^2$ e meio intervalo aberto

$$ X = \mathbb{S}^2 \coprod_{q = 0} [0,1)$$

Em outras palavras, $X$ é o empurrão dos mapas $\{\ast\} \rightarrow \mathbb{S}^2$ dado por $\ast \mapsto q$ e $\{\ast\} \rightarrow [0,1)$ dado por $\ast \mapsto 0$.