$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left(-1\right)^{n+1}\cos^n\left(x\right)}{2^{n-1}}$ converge para.

Question

Considere a série $$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left(-1\right)^{n+1}\cos^n\left(x\right)}{2^{n-1}}$$

Eu sei que a série converge absolutamente por teste de comparação. Mas encontrando dificuldade em encontrar para onde converge.

Answer 1

Observe que\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\cos^n(x)}{2^{n-1}}&=-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{-\cos(x)}2\right)^n\\&=-2\frac{-\frac{\cos x}2}{1+\frac{\cos x}2}\\&=\frac{\cos x}{1+\frac{\cos x}2}.\end{align}

Answer 2

E se $|r|< 1$, temos$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} r^{n}=\frac{1}{1+r}.$$

Isso ajuda?

Answer 3

A começar do primeiro passo do simpático utilizador @ José Carlos Santos que equivale a

$$\left(- 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{n}\right)\tag 1$$ o termo

$$-\frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\leq\frac{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2} < 1 \tag 2$$

e $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{n}=-\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + 1\right)} \tag 3$$ é uma série geométrica infinita e a soma é convergente para o $(2)$.

Portanto, para o $(1)$

$$-2\cdot \left(-\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + 1\right)}\right)=\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}$$

essa é a soma da série.