Surjetividade do homomorfismo de grau

Dec 22 2020

Com relação à seguinte pergunta e discussão:

É o grau de homomorfismo $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ sobrejetiva?

Nós concordamos que se $X$é uma curva sobre um campo algébricamente fechado, a resposta é sim, e nem sempre o contrário. Qual é a resposta no caso de$X$é uma curva sobre um campo fechado separavelmente ?

Esta é uma condição suficiente para que o homomorfismo de grau seja sobrejetivo?

Respostas

KReiser Dec 22 2020 at 17:21

A resposta é sim, supondo que você considere "curva" como "geometricamente reduzida". Cada redução geométrica$k$- o esquema do tipo finito tem um $k^s$ponto pela proposição 3.2.20 da Geometria Algébrica e Curvas Aritméticas de Liu (a ideia da prova é que os meios geometricamente reduzidos$k(X)/k$é separável, e o locus de tal comportamento está aberto para esquemas de tipo finito sobre um campo). Isso prova sua afirmação, supondo que você tome geometricamente reduzido como parte de sua definição de uma curva: escolha um regular$k^s$ ponto.

Você também pode consultar o Stacks 04QM para obter detalhes sobre a declaração acima.