Terminologia: Representações suaves de grupos localmente profinidos.
Deixei $G$ ser um grupo local profinito.
Uma representação suave é uma representação complexa ($V,\rho$) do $G$ de modo que o estabilizador de qualquer $v \in V$ está aberto.
Pode-se mostrar que (como $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ é um grupo de mentiras e tem NSS), uma representação (dimensão finita) de $G$ é contínuo se e somente se $\ker(\rho)$ está aberto.
Portanto, em dimensões finitas, as representações contínuas são suaves.
Além disso, como $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ e a interseção à direita pode ser considerada finita para dimensão finita $V$, suave também implica contínuo. Portanto, são equivalentes para dimensões finitas.
E as dimensões infinitas? Um deles implica o outro?
Qual é a razão desta terminologia? Só pergunto porque estou condicionado a pensar que essas implicações devem ser suaves implica contínuas, e não necessariamente o contrário!
Respostas
Suponho que contínuo aqui significa que o mapa $P:G \times V \rightarrow V$é contínua, dada a topologia discreta de V. Então, suave certamente implica em contínuo, literalmente por definição (verifique se a imagem inversa de um único vetor sob P está aberta)
Mas não acho que o outro lado esteja certo, pois deveria depender do grupo.
Já $G=\mathbb Z_p$ agindo em $L^2(\mathbb Z_p)$ por tradução é contínua, mas é fácil fazer funções não locais constantes em $L^2(\mathbb Z_p)$.
Além disso, é enganoso dizer que os espaços repn suaves "não têm topologia" ou "têm a topologia discreta". Em vez disso, eles têm a topologia colimite expressa como a união ascendente de seus subespaços de dimensão finita. Sim, todo mapa linear desse espaço é contínuo ... razão pela qual observações incorretas sobre a topologia não levam diretamente ao desastre. :)
Portanto, na melhor das hipóteses, para cada compacto aberto $K$ dentro $G$, o subespaço $V^K$ do $K$os vetores fixos são de dimensão finita e $V=\bigcup V^K$. Isso não é assim para$V=L^2(\mathbb Z_p)$, mas é correto para$V$ a $K$vetores finitos. Coisas assim.